تحليل رياضي/الدوال العددية

محور تماثل - مركز تماثل منحنى

خاصية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.

يكون المستقيم ذو المعادلة $x=a$ محورَ تماثل للمنحنى $(C)$ إذا وفقط إذا كان لكل $x$ من $D$ : ${\begin{cases}2a-x\in D\\f(2a-x)=f(x)\end{cases}}$

خاصية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ و $(C_{f})$ منحناها في معلم ما.

تكون النقطة $\Omega (a,b)$ مركز تماثل للمنحنى $(C_{f})$ إذا وفقط إذا كان لكل $x$ من $D$ : ${\begin{cases}2a-x\in D\\f(2a-x)=2b-f(x)\end{cases}}$

لازمة

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$

إذا كان منحنى دالة $f$ يقبل نقطة $\Omega (a,b)$ كمركز تماثل، أو يقبل كمحور تماثلٍ مستقيما معادلته $x=a$

فإنه يكفي أن تُدرسَ الدالة $f$ على المجموعة $D\cap [a,+\infty [$

الدوال الدورية

تعريف

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$. نقول إن الدالة $f$ دورية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $T$ غير منعدم بحيث لكل $x$ من $D$ لدينا : ${\begin{cases}x+T\in D\\x-T\in D\\f(x+T)=f(x)\end{cases}}$

العدد الحقيقي $T$ يسمى دورا للدالة $f$ ، وأصغر دور موجب قطعا يسمى دور الدالة $f$

خاصية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ مُمثّلة مبيانيا في معلم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

إذا كانت $f$ دورية دورها $T$ فإن منحناها على $D\cap [x_{0}+nT,x_{0}+(n+1)T[$ حيث $n\in \mathbb {Z}$ هو صورة منحناها على $D\cap [x_{0},x_{0}+T[$ بالإزاحة التي متجهتها $nT{\overrightarrow {i}}$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة دورية دورها $T$ فإنه يكفي أن تُدرسَ الدالة $f$ على مجال سعته $T$

دراسة تقعر منحنى

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $(C)$ منحناها على $I$

نقول إن $(C)$ مُحَدَّب إذا كان يوجد فوق جميع مماساته، ونقول إنه مُقَعَّر إذا كان يوجد تحت جميع مماساته.

نقول إن النقطة $J(a,f(a))$ هي نقطة انعطاف المنحنى $(C)$ إذا كان $(C)$ يخترق مماسه في $J$

خاصية

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق مرتين على مجال $I$

• يكون منحنى الدالة $f$ محدبا على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f''(x)\geq 0$
• يكون منحنى الدالة $f$ مقعرا على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f''(x)\leq 0$
• تكون النقطة $J(a,f(a))$ نقطة انعطاف لمنحنى الدالة $f$ إذا وفقط إذا انعدمت $f''$ وغيرت إشارتها في $a$

دراسة الفروع اللانهائية لمنحنى دالة

جدول ملخص لدراسة الفروع اللانهائية

النهايات			الفروع اللانهائية
$\lim _{x\to \infty }f(x)=b$			المستقيم ذو المعادلة $y=b$ مقارب أفقي للمنحنى $(C_{f})$
$\lim _{x\to a}f(x)=\infty$			المستقيم ذو المعادلة $y=a$ مقارب عمودي للمنحنى $(C_{f})$
$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$	$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\infty$		$(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأراتيب
	$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=0$		$(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل
	$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a\in \mathbb {R} ^{*}$	$\lim _{x\to \infty }(f(x)-ax)=\infty$	$(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المستقيم ذو المعادلة $y=ax$
		$\lim _{x\to \infty }(f(x)-ax)=b$	$(C_{f})$ يقبل مقاربا مائلا معادلته $y=ax+b$
$\lim _{x\to \infty }[f(x)-(ax+b)]=0,(a\in \mathbb {R} ^{*})$			$(C_{f})$ يقبل مقاربا مائلا معادلته $y=ax+b$

انظر أيضا

• الاتصال
• الاشتقاق
• التكامل
• الدوال الأصلية
• دراسة الدوال العددية
• الدوال اللوغاريتمية
• الدوال الأسية
• نهاية متتالية