تحليل رياضي/الدوال العددية

محور تماثل - مركز تماثل منحنى

خاصية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.

يكون المستقيم ذو المعادلة $x = a$ محورَ تماثل للمنحنى $(C)$ إذا وفقط إذا كان لكل $x$ من $D$ : ${\begin{matrix} 2 a - x \in D \\ f (2 a - x) = f (x) \end{matrix}$

خاصية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ و $(C_{f})$ منحناها في معلم ما.

تكون النقطة $Ω (a, b)$ مركز تماثل للمنحنى $(C_{f})$ إذا وفقط إذا كان لكل $x$ من $D$ : ${\begin{matrix} 2 a - x \in D \\ f (2 a - x) = 2 b - f (x) \end{matrix}$

لازمة

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$

إذا كان منحنى دالة $f$ يقبل نقطة $Ω (a, b)$ كمركز تماثل، أو يقبل كمحور تماثلٍ مستقيما معادلته $x = a$

فإنه يكفي أن تُدرسَ الدالة $f$ على المجموعة $D \cap [a, + \infty [$

الدوال الدورية

تعريف

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ . نقول إن الدالة $f$ دورية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $T$ غير منعدم بحيث لكل $x$ من $D$ لدينا : ${\begin{matrix} x + T \in D \\ x - T \in D \\ f (x + T) = f (x) \end{matrix}$

العدد الحقيقي $T$ يسمى دورا للدالة $f$ ، وأصغر دور موجب قطعا يسمى دور الدالة $f$

خاصية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ مُمثّلة مبيانيا في معلم $(O, \vec{i}, \vec{j})$

إذا كانت $f$ دورية دورها $T$ فإن منحناها على $D \cap [x_{0} + n T, x_{0} + (n + 1) T [$ حيث $n \in ℤ$ هو صورة منحناها على $D \cap [x_{0}, x_{0} + T [$ بالإزاحة التي متجهتها $n T \vec{i}$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة دورية دورها $T$ فإنه يكفي أن تُدرسَ الدالة $f$ على مجال سعته $T$

دراسة تقعر منحنى

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $(C)$ منحناها على $I$

نقول إن $(C)$ مُحَدَّب إذا كان يوجد فوق جميع مماساته، ونقول إنه مُقَعَّر إذا كان يوجد تحت جميع مماساته.

نقول إن النقطة $J (a, f (a))$ هي نقطة انعطاف المنحنى $(C)$ إذا كان $(C)$ يخترق مماسه في $J$

خاصية

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق مرتين على مجال $I$

يكون منحنى الدالة $f$ محدبا على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x \in I) f^{″} (x) \geq 0$
يكون منحنى الدالة $f$ مقعرا على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x \in I) f^{″} (x) \leq 0$
تكون النقطة $J (a, f (a))$ نقطة انعطاف لمنحنى الدالة $f$ إذا وفقط إذا انعدمت $f^{″}$ وغيرت إشارتها في $a$

دراسة الفروع اللانهائية لمنحنى دالة

جدول ملخص لدراسة الفروع اللانهائية
النهايات			الفروع اللانهائية
$lim_{x \to \infty} f (x) = b$			المستقيم ذو المعادلة $y = b$ مقارب أفقي للمنحنى $(C_{f})$
$lim_{x \to a} f (x) = \infty$			المستقيم ذو المعادلة $y = a$ مقارب عمودي للمنحنى $(C_{f})$
$lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$	$lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = \infty$		$(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأراتيب
	$lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = 0$		$(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل
	$lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = a \in ℝ^{*}$	$lim_{x \to \infty} (f (x) - a x) = \infty$	$(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المستقيم ذو المعادلة $y = a x$
	$lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = a \in ℝ^{*}$	$lim_{x \to \infty} (f (x) - a x) = b$	$(C_{f})$ يقبل مقاربا مائلا معادلته $y = a x + b$
$lim_{x \to \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0, (a \in ℝ^{*})$			$(C_{f})$ يقبل مقاربا مائلا معادلته $y = a x + b$

انظر أيضا