تحليل رياضي/نهاية متتالية

عموميات حول المتتاليات

ليكن $k$ عنصرا من $ℕ$ ، نضع : $I = {n \in ℕ / n \geq k}$ ، ولتكن $(u_{n})_{n \in I}$ متتالية عددية.

متتالية مكبورة - متتالية مصغورة - متتالية محدودة

تعريف

نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ مكبورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $M$ بحيث : $u_{n} \leq M$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ مصغورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $m$ بحيث : $u_{n} \geq m$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة.

رتابة متتالية

تعريف

نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ تزايدية إذا كان : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ تناقصية إذا كان : $u_{n + 1} \leq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ ثابتة إذا كان : $u_{n + 1} = u_{n}$ لكل $n$ من $I$

متتالية حسابية

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ حسابية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $r$ بحيث : $(\forall n \in I) u_{n + 1} = u_{n} + 1$

العدد $r$ يسمى أساس المتتالية الحسابية $(u_{n})_{n \in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ حسابية وأساسها $r$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

$u_{n} = u_{p} + (n - p) r$
$(n \geq p) u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{n} = (n - p + 1) (\frac{u_{n} + u_{p}}{2})$

متتالية هندسية

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ هندسية إذا وُجد عدد حقيقي $q$ بحيث : $(\forall n \in I) u_{n + 1} = q u_{n}$

العدد الحقيقي $q$ يسمى أساس المتتالية الهندسية $(u_{n})_{n \in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ هندسية أساسها $q$ غير منعدم ومختلف عن $1$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

$u_{n} = u_{p} q^{n - p}$
$(n \geq p) u_{p} + \dots + u_{n} = u_{p} (\frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q})$

متتالية نهايتها لا منتهية

تعريف

نقول إن نهاية متتالية عددية $(u_{n})_{n \in I}$ هي $+ \infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ ، إذا كان كل مجال مفتوح من $] A, + \infty [$ حيث $A > 0$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.

وبتعبير آخر : $\forall A > 0, \exists n_{0} \in ℕ, \forall n \in ℕ, (n \geq n_{0} ⟹ u_{n} > A)$

ونكتب $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ أو $lim (u_{n}) = + \infty$

ونقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n \in I}$ هي $- \infty$ إذا كانت نهاية المتتالية $(- u_{n})_{n \in I}$ هي $+ \infty$

وبتعبير آخر : $\forall A > 0, \exists n_{0} \in ℕ, \forall n \in ℕ, (n \geq n_{0} ⟹ u_{n} < - A)$

متتاليات اعتيادية نهايتها $+ \infty$

خاصية

المتتاليات $(\sqrt{n})_{n}$ و $(n^{2})_{n}$ و $(n^{3})_{n}$ تؤول إلى $+ \infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$

متتالية نهايتها منتهية

تعريف

نقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n \in I}$ هي عدد حقيقي $ℓ$ إذا كان كل مجال مفتوح مركزه $ℓ$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.

وبتعبير آخر : $\forall ϵ > 0, \exists n_{0} \in ℕ, \forall n \in ℕ, (n \geq n_{0} ⟹ | u_{n} - ℓ | < ϵ)$

ونكتب : $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ أو $lim (u_{n}) = ℓ$

تعريف

كل متتالية نهايتها عدد حقيقي تسمى متتالية متقاربة.
كل متتالية غير متقاربة تسمى متتالية متباعدة.

تكون متتالية متباعدة إذا كانت نهايتها $+ \infty$ أو $- \infty$ أو إذا كانت لا تقبل نهاية (طبعا عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ )

متتاليات اعتيادية نهايتها الصفر

خاصية

المتتاليات ${(\frac{1}{n})}_{n \geq 1}$ و ${(\frac{1}{\sqrt{n}})}_{n \geq 1}$ و ${(\frac{1}{n^{2}})}_{n \geq 1}$ متقاربة ونهايتها الصفر.

وحدانية النهاية

خاصية

إذا كانت متتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة.

خاصية

إذا كانت متتالية متقاربة فإنها تكون محدودة.

ملاحظة : عكس هذه الخاصية غير صحيح، فالمتتالية $(u_{n})_{n}$ المعرفة بما يلي : $u_{n} = (- 1)^{n}$ محدودة لكنها غير متقاربة.

العمليات على نهايات المتتاليات

بصفة عامة، العمليات على النهايات التي سبقت دراستها بالنسبة للدوال، تبقى صالحة بالنسبة لنهايات المتتاليات.

نعتبر $ℓ$ و $ℓ^{'}$ عددان حقيقيان.

نهاية مجموع متتاليتين

$lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
$lim v_{n}$	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$lim (u_{n} + v_{n})$	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	شكل غير محدد

نهاية جداء متتاليتين

$lim u_{n}$	$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$ أو $- \infty$
$lim v_{n}$	$ℓ^{'}$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$0$
$lim (u_{n} v_{n})$	$ℓ ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	شكل غير محدد

نهاية خارج متتاليتين

$lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$0$	$0$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$ أو $- \infty$
$lim v_{n}$	$ℓ^{'} \neq 0$	$0$ و $v_{n} > 0$ ✪		$0$ و $v_{n} < 0$ ✪		$+ \infty$ أو $- \infty$	$0$	$ℓ^{'} > 0$		$ℓ^{'} < 0$		$+ \infty$ أو $- \infty$
$lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$	$\frac{ℓ}{ℓ^{'}}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$0$	شكل غير محدد	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	شكل غير محدد

✪ : انطلاقا من رتبة معينة

النهايات والترتيب

خاصية

إذا كانت $(u_{n})$ متتالية متقاربة وموجبة انطلاقا من رتبة معينة، فإن : $lim_{n \to + \infty} u_{n} \geq 0$
إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متقاربتين بحيث $u_{n} \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة، فإن : $lim_{n \to + \infty} u_{n} \leq lim_{n \to + \infty} v_{n}$

مصاديق التقارب

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $ℓ$ عددا حقيقيا بحيث $| u_{n} - ℓ | \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ و $(w_{n})$ ثلاث متتاليات عددية وليكن $ℓ$ عددا حقيقيا بحيث $w_{n} \leq u_{n} \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $lim_{n \to + \infty} v_{n} = ℓ$ و $lim_{n \to + \infty} w_{n} = ℓ$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين بحيث $u_{n} \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ فإن : $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$

وإذا كان $lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ فإن : $lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$

الرتابة والتقارب

خاصية

كل متتالية تزايدية ومكبورة هي متتالية متقاربة.
كل متتالية تناقصية ومصغورة هي متتالية متقاربة.

ملاحظة : هذه الخاصية تبين فقط أن المتتالية متقاربة دون تحديد نهايتها.

خاصية

كل متتالية تزايدية وغير مكبورة نهايتها $+ \infty$
كل متتالية تناقصية وغير مصغورة نهايتها $- \infty$

نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r \in ℚ^{*}$

خاصية

ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.
إذا كان $r > 0$ فإن : $lim_{n \to + \infty} n^{r} = + \infty$
إذا كان $r < 0$ فإن : $lim_{n \to + \infty} n^{r} = 0$

أمثلة :

$lim_{n \to + \infty} n^{- 1 / 2} = 0, lim_{n \to + \infty} n^{1 / 2} = + \infty$

نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q \in ℝ^{*}$

خاصية

ليكن $q$ عددا حقيقيا غير منعدم.

إذا كان $q > 1$ فإن : $lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$
إذا كان $q = 1$ فإن : $lim_{n \to + \infty} q^{n} = 1$
إذا كان $- 1 < q < 1$ فإن : $lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$
إذا كان $q \leq - 1$ فإن المتتالية $(q^{n})_{n}$ ليست لها نهاية

نهاية متتالية من نوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مغلق $I$ بحيث $f (I) \subset I$ ، ولتكن $(u_{n})$ متتالية معرفة بما يلي : $u_{0} \in I$ و $u_{n + 1} = f (u_{n})$ لكل $n$ من $ℕ$

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة فإن نهايتها هي حل للمعادلة $f (x) = x$

نهاية متتالية من نوع $v_{n} = f (u_{n})$

خاصية

إذا كانت متتالية $(u_{n})$ متقاربة نهايتها $ℓ$ وكانت دالة $f$ متصلة في $ℓ$

فإن المتتالية $(v_{n})$ ، المعرفة بما يلي $v_{n} = f (u_{n})$ ، متقاربة ونهايتها $f (ℓ)$

متتاليتان متحاديتان

تعريف

نقول إن متتاليتين $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متحاديتان إذا كانت إحداهما تزايدية والأخرى تناقصية و $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = 0$

مثال :

لتكن $(u_{n})_{n > 0}$ و $(v_{n})_{n > 0}$ المتتاليتين المعرفتين بما يلي : $u_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ و $v_{n} = 1 + \frac{1}{n}$

لدينا $(u_{n})_{n > 0}$ تزايدية و $(v_{n})_{n > 0}$ تناقصية و $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = lim_{n \to + \infty} (- \frac{2}{n}) = 0$

إذن المتتاليتان $(u_{n})_{n > 0}$ و $(v_{n})_{n > 0}$ متحاديتان.

خاصية

إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متحاديتين فإنهما متقاربتان ولهما نفس النهاية.

انظر أيضا

هناك ملفات عن Limit of a sequence في ويكيميديا كومنز.

عموميات حول المتتاليات

متتالية مكبورة - متتالية مصغورة - متتالية محدودة

رتابة متتالية

متتالية حسابية

متتالية هندسية

متتالية نهايتها لا منتهية

متتاليات اعتيادية نهايتها +∞

متتالية نهايتها منتهية

متتاليات اعتيادية نهايتها الصفر

وحدانية النهاية

العمليات على نهايات المتتاليات

نهاية مجموع متتاليتين

نهاية جداء متتاليتين

نهاية خارج متتاليتين

النهايات والترتيب

مصاديق التقارب

الرتابة والتقارب

نهاية المتتالية (nr)n حيث r∈ℚ∗

نهاية المتتالية الهندسية (qn)n حيث q∈ℝ∗

نهاية متتالية من نوع un+1=f(un)

نهاية متتالية من نوع vn=f(un)

متتاليتان متحاديتان

انظر أيضا

متتاليات اعتيادية نهايتها $+ \infty$

نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r \in ℚ^{*}$

نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q \in ℝ^{*}$

نهاية متتالية من نوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$

نهاية متتالية من نوع $v_{n} = f (u_{n})$