تحليل رياضي/نهاية متتالية

عموميات حول المتتاليات

ليكن $k$ عنصرا من $\mathbb {N}$ ، نضع : $I=\{n\in \mathbb {N} \;/\;n\geq k\}$ ، ولتكن $(u_{n})_{n\in I}$ متتالية عددية.

متتالية مكبورة - متتالية مصغورة - متتالية محدودة

تعريف

• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ مكبورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $M$ بحيث : $u_{n}\leq M$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ مصغورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $m$ بحيث : $u_{n}\geq m$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة.

رتابة متتالية

تعريف

• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ تزايدية إذا كان : $u_{n+1}\geq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ تناقصية إذا كان : $u_{n+1}\leq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ ثابتة إذا كان : $u_{n+1}=u_{n}$ لكل $n$ من $I$

متتالية حسابية

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ حسابية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $r$ بحيث : $(\forall n\in I)\quad u_{n+1}=u_{n}+1$

العدد $r$ يسمى أساس المتتالية الحسابية $(u_{n})_{n\in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ حسابية وأساسها $r$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

• $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
• $(n\geq p)\qquad u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{n}=(n-p+1)\left({\frac {u_{n}+u_{p}}{2}}\right)$

متتالية هندسية

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هندسية إذا وُجد عدد حقيقي $q$ بحيث : $(\forall n\in I)\quad u_{n+1}=qu_{n}$

العدد الحقيقي $q$ يسمى أساس المتتالية الهندسية $(u_{n})_{n\in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هندسية أساسها $q$ غير منعدم ومختلف عن $1$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

• $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$
• $(n\geq p)\qquad u_{p}+\cdots +u_{n}=u_{p}\left({\frac {1-q^{n-p+1}}{1-q}}\right)$

متتالية نهايتها لا منتهية

تعريف

• نقول إن نهاية متتالية عددية $(u_{n})_{n\in I}$ هي $+\infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$ ، إذا كان كل مجال مفتوح من $]A,+\infty [$ حيث $A>0$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.

وبتعبير آخر : $\forall A>0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies u_{n}>A)$

ونكتب $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ أو $\lim(u_{n})=+\infty$

• ونقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هي $-\infty$ إذا كانت نهاية المتتالية $(-u_{n})_{n\in I}$ هي $+\infty$

وبتعبير آخر : $\forall A>0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies u_{n}<-A)$

متتاليات اعتيادية نهايتها $+\infty$

خاصية

المتتاليات $({\sqrt {n}})_{n}$ و $(n^{2})_{n}$ و $(n^{3})_{n}$ تؤول إلى $+\infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$

متتالية نهايتها منتهية

تعريف

نقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هي عدد حقيقي $\ell$ إذا كان كل مجال مفتوح مركزه $\ell$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.

وبتعبير آخر : $\forall \epsilon >0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies |u_{n}-\ell |<\epsilon )$

ونكتب : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$ أو $\lim(u_{n})=\ell$

تعريف

• كل متتالية نهايتها عدد حقيقي تسمى متتالية متقاربة.
• كل متتالية غير متقاربة تسمى متتالية متباعدة.

تكون متتالية متباعدة إذا كانت نهايتها $+\infty$ أو $-\infty$ أو إذا كانت لا تقبل نهاية (طبعا عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$)

متتاليات اعتيادية نهايتها الصفر

خاصية

المتتاليات $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\geq 1}$ و $\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)_{n\geq 1}$ و $\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\geq 1}$ متقاربة ونهايتها الصفر.

وحدانية النهاية

خاصية

إذا كانت متتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة.

خاصية

إذا كانت متتالية متقاربة فإنها تكون محدودة.

ملاحظة : عكس هذه الخاصية غير صحيح، فالمتتالية $(u_{n})_{n}$ المعرفة بما يلي : $u_{n}=(-1)^{n}$ محدودة لكنها غير متقاربة.

العمليات على نهايات المتتاليات

بصفة عامة، العمليات على النهايات التي سبقت دراستها بالنسبة للدوال، تبقى صالحة بالنسبة لنهايات المتتاليات.

نعتبر $\ell$ و $\ell '$ عددان حقيقيان.

نهاية مجموع متتاليتين

$\lim u_{n}$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim v_{n}$	$\ell '$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim(u_{n}+v_{n})$	$\ell +\ell '$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	شكل غير محدد

نهاية جداء متتاليتين

$\lim u_{n}$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$ أو $-\infty$
$\lim v_{n}$	$\ell '$	$\ell '>0$	$\ell '<0$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$0$
$\lim(u_{n}v_{n})$	$\ell \ell '$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	شكل غير محدد

نهاية خارج متتاليتين

$\lim u_{n}$	$\ell$	$\ell >0$	$\ell <0$	$\ell >0$	$\ell <0$	$0$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$ أو $-\infty$
$\lim v_{n}$	$\ell '\neq 0$	$0$ و $v_{n}>0$ ✪		$0$ و $v_{n}<0$ ✪		$+\infty$ أو $-\infty$	$0$	$\ell '>0$		$\ell '<0$		$+\infty$ أو $-\infty$
$\lim {\frac {u_{n}}{v_{n}}}$	${\frac {\ell }{\ell '}}$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$0$	شكل غير محدد	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	شكل غير محدد

✪ : انطلاقا من رتبة معينة

النهايات والترتيب

خاصية

• إذا كانت $(u_{n})$ متتالية متقاربة وموجبة انطلاقا من رتبة معينة، فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}\geq 0$
• إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متقاربتين بحيث $u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة، فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq \lim _{n\to +\infty }v_{n}$

مصاديق التقارب

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $\ell$ عددا حقيقيا بحيث $|u_{n}-\ell |\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=0$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ و $(w_{n})$ ثلاث متتاليات عددية وليكن $\ell$ عددا حقيقيا بحيث $w_{n}\leq u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=\ell$ و $\lim _{n\to +\infty }w_{n}=\ell$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين بحيث $u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=+\infty$

وإذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=-\infty$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=-\infty$

الرتابة والتقارب

خاصية

• كل متتالية تزايدية ومكبورة هي متتالية متقاربة.
• كل متتالية تناقصية ومصغورة هي متتالية متقاربة.

ملاحظة : هذه الخاصية تبين فقط أن المتتالية متقاربة دون تحديد نهايتها.

خاصية

• كل متتالية تزايدية وغير مكبورة نهايتها $+\infty$
• كل متتالية تناقصية وغير مصغورة نهايتها $-\infty$

نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$

خاصية

• ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.
• إذا كان $r>0$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }n^{r}=+\infty$
• إذا كان $r<0$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }n^{r}=0$

أمثلة :

$\lim _{n\to +\infty }n^{-1/2}=0\quad ,\quad \lim _{n\to +\infty }n^{1/2}=+\infty$

نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q\in \mathbb {R} ^{*}$

خاصية

ليكن $q$ عددا حقيقيا غير منعدم.

• إذا كان $q>1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=+\infty$
• إذا كان $q=1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=1$
• إذا كان $-1<q<1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=0$
• إذا كان $q\leq -1$ فإن المتتالية $(q^{n})_{n}$ ليست لها نهاية

نهاية متتالية من نوع $u_{n+1}=f(u_{n})$

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مغلق $I$ بحيث $f(I)\subset I$ ، ولتكن $(u_{n})$ متتالية معرفة بما يلي : $u_{0}\in I$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n$ من $\mathbb {N}$

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة فإن نهايتها هي حل للمعادلة $f(x)=x$

نهاية متتالية من نوع $v_{n}=f(u_{n})$

خاصية

إذا كانت متتالية $(u_{n})$ متقاربة نهايتها $\ell$ وكانت دالة $f$ متصلة في $\ell$

فإن المتتالية $(v_{n})$ ، المعرفة بما يلي $v_{n}=f(u_{n})$ ، متقاربة ونهايتها $f(\ell )$

متتاليتان متحاديتان

تعريف

نقول إن متتاليتين $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متحاديتان إذا كانت إحداهما تزايدية والأخرى تناقصية و $\lim _{n\to +\infty }(u_{n}-v_{n})=0$

مثال :

لتكن $(u_{n})_{n>0}$ و $(v_{n})_{n>0}$ المتتاليتين المعرفتين بما يلي : $u_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ و $v_{n}=1+{\frac {1}{n}}$

لدينا $(u_{n})_{n>0}$ تزايدية و $(v_{n})_{n>0}$ تناقصية و $\lim _{n\to +\infty }(u_{n}-v_{n})=\lim _{n\to +\infty }\left(-{\frac {2}{n}}\right)=0$

إذن المتتاليتان $(u_{n})_{n>0}$ و $(v_{n})_{n>0}$ متحاديتان.

خاصية

إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متحاديتين فإنهما متقاربتان ولهما نفس النهاية.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• التكامل
• دراسة الدوال العددية

هناك ملفات عن Limit of a sequence في ويكيميديا كومنز.