تحليل رياضي/الاشتقاق

القابلية للاشتقاق

قابلية اشتقاق دالة في عدد

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وُجِدَ عدد حقيقي $\ell$ بحيث : $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$

العدد $\ell$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f^{\prime }(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي $a$

• المستقيم الذي معادلته : $y=f^{\prime }(a).(x-a)+f(a)$ يسمى مماس منحنى الدالة $f$ في النقطة التي أُفصولها $a$
• الدالة $x\mapsto f^{\prime }(a).(x-a)+f(a)$ تسمى التقريب التآلفي للدالة $f$ بجوار العدد $a$

ونكتب : $f(x)\simeq f^{\prime }(a).(x-a)+f(a)$ بجوار $a$ ، أو $f(a+h)\simeq h.f^{\prime }(a)+f(a)$ بجوار $0$

قابلية الاشتقاق على اليمين - قابلية الاشتقاق على اليسار

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليمين

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي ${\ell }_1$ بحيث : $\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={\ell }_1$

العدد ${\ell }_1$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليمين في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز ${f_d}^{\prime }(a)$ ونكتب ${f_d}^{\prime }(a)=l_1$

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليسار

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي ${\ell }_2$ بحيث : $\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={\ell }_2$

العدد ${\ell }_2$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليسار في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز ${f_g}^{\prime }(a)$ ونكتب ${f_g}^{\prime }(a)=l_2$

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

تكون $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في $a$ و ${f_d}^{\prime }(a)={f_g}^{\prime }(a)$

قابلية اشتقاق دالة على مجال

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,b]$ ($a<b$)

• نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من $]a,b[$
• الدالة التي تربط كل عدد $x$ من $]a,b[$ بالعدد المشتق $f^{\prime }(x)$ تسمى الدالة المشتقة للدالة $f$ على المجال $]a,b[$ ، ويُرمَزُ لها بالرمز $f^{\prime }$
• نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على القطعة $[a,b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ وعلى اليسار في $b$

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

الدالة $f$	قابلة للاشتقاق على	الدالة المشتقة $f^{\prime }$
$x\mapsto k,(k\in ℝ)$	$ℝ$	$x\mapsto 0$
$x\mapsto ax,(a\in {ℝ}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto a$
$x\mapsto x^n,(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto n{x}^{n-1}$
$x\mapsto \frac{1}{x}$	${ℝ}^{-\ast }$ أو ${ℝ}^{+\ast }$	$x\mapsto \frac{-1}{x^2}$
$x\mapsto \sqrt{x}$	${ℝ}^{+\ast }$	$x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$x\mapsto \cos (x)$	$ℝ$	$x\mapsto -\sin (x)$
$x\mapsto \sin (x)$	$ℝ$	$x\mapsto \cos (x)$
$x\mapsto \tan (x)$	$]-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi [,k\in \mathbb{Z}$	$x\mapsto 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$x\mapsto \cos (ax+b),(a\in {ℝ}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto -a\sin (ax+b)$
$x\mapsto \sin (ax+b),(a\in {ℝ}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto a\cos (ax+b)$

الكتابة التفاضلية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا $y=f(x)$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ أو $dy=f^{\prime }(x)dx$

في مادة الفيزياء، إذا كانت $x$ دالة للمتغير $t$ بحيث $x=\frac{1}{2}{t}^2+3t+1$ فإننا نكتب : $\frac{dx}{dt}=t+3$

العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق

خاصية

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ و $\alpha$ عددا حقيقيا. لدينا :

• $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ و $(\alpha .u{)}^{\prime }=\alpha .u^{\prime }$ و $(u.v{)}^{\prime }=u^{\prime }.v+u.v^{\prime }$ و $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }.u^{n-1}$ حيث $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
• إذا كانت $v(x)\ne 0$ لكل $x$ من $I$ فإن : $\left(\frac{1}{v}\right)=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$ و $\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

الاشتقاق والاتصال

خاصية

لتكن $f$ دالة و $a$ عنصرا من مجموعة تعريفها. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ فإن $f$ متصلة في $a$

ملاحظتان :

• نتيجة لهذه الخاصية، كل دالة قابلة للاشتقاق على مجال هي دالة متصلة على هذا المجال.
• عكس هذه الخاصية غير صحيح، فدالة القيمة المطلقة المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $x\to |x|$ متصلة في صفر، لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذا العدد.

مشتقة مركب دالتين

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ و $g$ دالة معرفة على مجال مفتوح $J$ بحيث $f(I)\subset J$ وليكن $a$ عنصرا من المجال $I$

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ و $g$ قابلة للاشتقاق في $f(a)$، فإن الدالة $g\circ f$ قابلة للاشتقاق في $a$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $g$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $J$ بحيث $f(I)\subset J$

فإن الدالة $g\circ f$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ، ولدينا لكن $x$ من $I$ : $(g\circ f{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x).g^{\prime }(f(x))$

مشتقة الدالة العكسية

خاصية

لتكن $f$ تقابلا من مجال $I$ نحو مجال $J$ و $f^{-1}$ تقابلها العكسي. وليكن $a$ عنصرا من $I$ و $b$ عنصرا من $J$ بحيث $f(a)=b$

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ و $f^{\prime }(a)\ne 0$

فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق في $b$ ولدينا : $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$

لازمة

لتكن $f$ تقابلا من مجال $I$ نحو مجال $J$ و $f^{-1}$ تقابلها العكسي.

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ و $f^{\prime }$ لا تنعدم على المجال $I$

فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق على المجال $J$ ولدينا لكل $x$ من $J$ : $(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$

مشتقة دالة قوس الظل

خاصية

• الدالة $\arctan$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ ولدينا لكل $x$ من $ℝ$ : ${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$
• إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ فإن الدالة $x\mapsto \arctan (u(x))$ قابلة للاشتقاق على $I$ و دالتها المشتقة هي الدالة : $x\mapsto \frac{u^{\prime }(x)}{1+(u(x){)}^2}$

مشتقة دالة الجذر من الرتبة n

مشتقة الدالة $x\mapsto \sqrt[n]{x}$

خاصية

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$

الدالة $f:x\mapsto \sqrt[n]{x}$ قابلة للاشتقاق على ${ℝ}^{+\ast }$ ولدينا لكل $x$ من ${ℝ}^{+\ast }$ : $f^{\prime }(x)=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

مشتقة الدالة $x\mapsto \sqrt[n]{u(x)}$

خاصية

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f^{\prime }(x)=\frac{1}{n}{u}^{\prime }(x).(u(x){)}^{\frac{1}{n}-1}=\frac{u^{\prime }(x)}{n\sqrt[n]{(u(x){)}^{n-1}}}$

مشتقات الدوال $x\mapsto x^r$ و $x\mapsto (u(x){)}^r$ حيث $r\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$

خاصية

ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.

• الدالة $x\mapsto x^r$ قابلة للاشتقاق على ${ℝ}^{+\ast }$ ومشتقتها هي الدالة $x\mapsto r{x}^{r-1}$
• إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto (u(x){)}^r$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f^{\prime }(x)=r.u^{\prime }(x).(u(x){)}^{r-1}$

مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة رول

مبرهنة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقالبة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ و $f(a)=f(b)$

فإنه يوجد على الأقل عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$

هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$ يعني أن منحنى الدالة $f$ على $[a,b]$ له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$

فإنه يوجد $c$ من $]a,b[$ بحيث : $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$

هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ يعني أن لمنحنى الدالة $f$ على الأقل مماسا موازيا للمستقيم المار من النقطتين $A(a,f(a))$ و $B(b,f(b))$

متفاوتة التزايدات المنتهية

خاصية

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ بحيث $\alpha \le f^{\prime }(x)\le \beta$ لكل $x$ من $]a,b[$

فإن : $\alpha (a-b)\le f(b)-f(a)\le \beta (b-a)$

لازمة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عدد حقيقي موجب $k$ بحيث : $(\mathrm{\forall }t\in ]a,b[)|f^{\prime }(t)|\le k$

فإنه لكل $x$ و $y$ من $]a,b[$ : $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$

رتابة دالة عددية

خاصية

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$

• تكون $f$ ثابتة على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\mathrm{\forall }x\in I)f^{\prime }(x)=0$
• تكون $f$ تزايدية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\mathrm{\forall }x\in I)f^{\prime }(x)\ge 0$
• تكون $f$ تناقصية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\mathrm{\forall }x\in I)f^{\prime }(x)\le 0$

ملاحظة : إذا كانت $(\mathrm{\forall }x\in I)f^{\prime }(x)\ge 0$ والمتساوية $f^{\prime }(x)=0$ محققة فقط بالنسبة لأعداد معزولة من المجال $I$ فإن الدالة $f$ تزايدية قطعا على $I$

انظر أيضا

• الاتصال
• دراسة الدوال العددية
• الدوال الأصلية
• التكامل
• المعادلات التفاضلية
• نهاية متتالية