تحليل رياضي/الاتصال

اتصال دالة في نقطة

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

نقول إن $f$ متصلة في $a$ إذا كان : $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

إذا كانت الدالة $f$ غير متصلة في $a$ فإننا نقول إنها منقطعة في $a$

الاتصال على اليمين - الاتصال على اليسار

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال من النوع $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ متصلة على اليمين في $a$ إذا كان : $\mathop {\lim _{x\to a}} _{x>a}f(x)=f(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال من النوع $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ متصلة على اليسار في $a$ إذا كان : $\mathop {\lim _{x\to a}} _{x<a}f(x)=f(a)$

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

تكون $f$ متصلة في $a$ إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين وعلى اليسار في $a$

دالة الجزء الصحيح

تعريف

دالة الجزء الصحيح هي الدالة التي تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد الصحيح النسبي الوحيد $p$ الذي يحقق $p\leq x<p+1$

يُرمَزُ لصورة $x$ بهذه الدالة بالرمز $E(x)$

خاصية

• دالة الجزء الصحيح متصلة في كل عدد من $\mathbb {R} -\mathbb {Z}$
• دالة الجزء الصحيح متصلة على اليمين في كل عدد $k$ من $\mathbb {Z}$ وغير متصلة على اليسار في $k$

التمديد بالاتصال

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية و $D_{f}$ مجموعة تعريفها. وليكن $a$ عددا حقيقيا بحيث $a\notin D_{f}$

إذا كانت للدالة $f$ نهاية منتهية $\ell$ في العدد $a$ فإن الدالة $g$ المعرفة بما يلي ${\begin{cases}g(x)=f(x);x\neq a\\g(a)=\ell \end{cases}}$ متصلة في $a$

تعريف

الدالة $g$ تسمى التمديد بالاتصال للدالة $f$ في $a$

الاتصال على مجال

تعريف

• نقول إن دالة $f$ متصلة على مجال مفتوح $]a,b[$ إذا كانت متصلة في كل عدد من $]a,b[$
• نقول إن دالة $f$ متصلة على مجال مغلق $[a,b]$ إذا كانت متصلة على المجال المفتوح $]a,b[$ ومتصلة على اليمين في $a$ وعلى اليسار في $b$

خاصية

• كل دالة حدودية متصلة على $\mathbb {R}$
• كل دالة جذرية متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها.
• الدالتان $\cos$ و $\sin$ متصلتان على $\mathbb {R}$
• الدالة $x\rightarrow {\sqrt {x}}$ متصلة على $\mathbb {R} ^{+}$
• الدالة $\tan$ متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها.

خاصية

• إذا كانت $u$ و $v$ دالتين متصلتين على مجال $I$ فإن الدوال $u+v$ و $u.v$ و $\lambda u$ (مع $\lambda \in \mathbb {R}$) دوال متصلة على $I$
• إذا كانت $u$ و $v$ دالتين متصلتين على مجال $I$ و $v(x)\neq 0$ لكل $x$ من $I$ فإن الدالة ${\frac {u}{v}}$ متصلة على $I$

اتصال مركب دالتين

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $I$ ، و $g$ دالة معرفة على مجال $J$ بحيث $f(I)\subset J$، وليكن $a$ عنصرا من $I$

إذا كانت $f$ متصلة في $a$ و $g$ متصلة في $f(a)$ فإن الدالة $g\circ f$ متصلة في $a$

ومنه إذا كانت $f$ متصلة على $I$ و $g$ متصلة على $J$ فإن الدالة $g\circ f$ متصلة على $I$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة متصلة وموجبة على مجال $I$، فإن الدالة ${\sqrt {f}}$ متصلة على $I$

مركب دالة متصلة ودالة تقبل نهاية

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح منقط $I$ مركزه $a$، و $g$ دالة معرفة على مجال مفتوح $J$ مركزه $\ell$ بحيث $f(I)\subset J$

إذا كان $\lim _{x\to a}f(x)=\ell$ و $g$ متصلة في العدد $\ell$ فإن : $\lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=g(\ell )$

ملاحظة: باعتبار مجال مناسب $I$،

• إذا كان $\lim _{x\to a}f(x)=\ell$ و $g$ متصلة في $I$ فإن $\lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=g(\ell )$
• إذا كان $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\ell$ و $g$ متصلة في $I$ فإن $\lim _{x\to +\infty }(g\circ f)(x)=g(\ell )$
• وبالمثل بالنسبة للنهاية على اليسار في $a$ والنهاية عند $-\infty$.

صورة مجال بدالة متصلة

تذكير: المجال هو جزء $I$ من $\mathbb {R}$ بحيث لكل $x$ و $y$ من $I$ القطعة $[x,y]$ توجد ضمن $I$

مبرهنة

صورة مجال بدالة متصلة هي مجال.

ملاحظات:

• اتصال دالة هو شرط كاف لكي تكون صورة مجال هي مجال، لكن هذا الشرط ليس لازما، إذ يمكن أن تكون صورة مجال بدالة غير متصلة عليه هي أيضا مجال.
• المجالان $I$ و $f(I)$ ليسا دائما من نفس النوع، فصورة المجال نصف المغلق $]-1,2]$ مثلا بالدالة $x\mapsto x^{2}$ هي القطعة $[0,4]$
• إذا كان المجال $I$ قطعة، فإن لدينا الخاصية التالية:

خاصية

صورة قطعة بدالة متصلة هي أيضا قطعة.

مبرهنة القيم الوسيطية

مبرهنة القيم الوسيطية

إذا كانت $f$ دالة متصة على قطعة $[a,b]$ ، فإن لكل عدد حقيقي $\lambda$ محصور بين $f(a)$ و $f(b)$، يوجد على الأقل عدد حقيقي $c$ من المجال $[a,b]$ بحيث $f(c)=\lambda$

حالة خاصة لمبرهنة القيم الوسيطية

لازمة

إذا كانت $f$ دالة متصلة على $[a,b]$ و $f(a).f(b)<0$

فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الأقل حلا في المجال $[a,b]$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا $[a,b]$ و $f(a).f(b)<0$

فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا في $]a,b[$

الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة قطعا

خاصية

إذا كانت $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال $I$، فإن $f$ تَقابل من المجال $I$ نحو المجال $f(I)$

خاصيات الدالة العكسية

خاصية

إذا كانت $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال $I$ فإن $f$ تقبل دالة عكسية $f^{-1}$ :

• الدالة $f^{-1}$ معرفة ومتصلة على المجال $f(I)$
• الدالة $f^{-1}$ رتيبة قطعا على $f(I)$ ولها نفس منحى تغيير $f$
• منحنى $f$ ومنحنى $f^{-1}$ ، في معلم متعامد ممنظم، متماثلان بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة $x=y$

دالة قوس الظل

تعريف

الدالة العكسية لقصور الدالة $\tan$ على المجال $]-\pi /2,\pi /2[$ تسمى دالة قوس الظل، ويرمز لها بالرمز $\arctan$

لازمة

• الدالة $\arctan$ معرفة من $\mathbb {R}$ نحو $]-\pi /2,\pi /2[$
• لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $]-\pi /2,\pi /2[$ لدينا : $\arctan(x)=y\iff x=\tan(y)$
• الدالة $\arctan$ متصلة وتزايدية قطعا على $\mathbb {R}$
• $\forall x\in \mathbb {R} ,\tan(\arctan(x))=x$ و $\forall x\in ]-\pi /2,\pi /2[,\arctan(\tan(x))=x$
• $\lim _{x\to +\infty }\arctan x={\frac {\pi }{2}}$ و $\lim _{x\to -\infty }\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}$
• الدالة $\arctan$ فردية (لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\arctan(-x)=-\arctan(-x)$ )

دالة الجذر من الرتبة $n$

تعريف

ليكن $n$ عنصرا من $\mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \left\{1\right\}$

دالة الجذر من الرتبة $n$ هي الدالة العكسية لقصور الدالة $x\mapsto x^{n}$ على $\mathbb {R} ^{+}$

يُرمز لصورة عدد حقيقي موجب $x$ بدالة الجذر من الرتبة $n$ بالرمز ${\sqrt[{n}]{x}}$ ويُقرأ الجذر من الرتبة $n$ للعدد $x$

ولدينا لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\sqrt[{n}]{x}}=y\iff x=y^{n}$

لازمة

• لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\sqrt[{n}]{x^{n}}}=x$ و $({\sqrt[{n}]{x}})^{n}=x$
• لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{n}]{y}}\iff x=y$ و ${\sqrt[{n}]{x}}>{\sqrt[{n}]{y}}\iff x>y$
• الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ متصلة على $\mathbb {R} ^{+}$ و $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{n}]{x}}=+\infty$

العمليات على الجذور من الرتبة $n$

خاصية

ليكن $n$ و $p$ عنصرين من $\mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \left\{1\right\}$ و $a$ و $b$ عنصرين من $\mathbb {R} ^{+}$، لدينا:

• ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$
• لكل $b\neq 0$ : ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
• ${\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{np}]{a^{p}}}$
• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{p}]{a}}}={\sqrt[{np}]{a}}$

اتصال ونهاية مركب دالة ودالة الجذر من الرتبة $n$

خاصية

لتكن $u$ دالة معرفة وموجبة على مجال $I$ و $a$ عنصرا من $I$

• إذا كانت $u$ متصلة على $I$ فإن الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$ متصلة على $I$
• إذا كان $\lim _{x\to a}u(x)=\ell$ فإن : $\lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{u(x)}}={\sqrt[{n}]{\ell }}$
• إذا كان $\lim _{x\to a}u(x)=+\infty$ فإن : $\lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{u(x)}}=+\infty$

القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا

تعريف

ليكن $x$ عددا حقيقيا موجبا قطعا و ${\frac {p}{q}}$ عددا جذريا غير منعدم حيث $p\in \mathbb {Z} ^{*}$ و $q\in \mathbb {Z} ^{*}$

العدد $x^{\frac {p}{q}}$ هو العدد ${\sqrt[{q}]{x^{p}}}$ ويسمى القوة الجذرية للعدد $x$ ذات الأس ${\frac {p}{q}}$

العمليات على القوى الجذرية

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عنصرين من $\mathbb {R} ^{+*}$، و $r$ و $r'$ عنصرين من $\mathbb {Q}$، لدينا:

$(a^{r})^{r'}=a^{rr'}\quad ;\quad (ab)^{r}=a^{r}b^{r}\quad ;\quad a^{r}a^{r'}=a^{r+r'}$

${\frac {a^{r}}{a^{r'}}}=a^{r-r'}\quad ;\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}\quad ;\quad a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}$

ملاحظة : القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا لها نفس خاصيات القوى الصحيحة لعدد حقيقي غير منعدم.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• دراسة الدوال العددية
• التكامل

هناك ملفات عن Continuity (functions) في ويكيميديا كومنز.