تحليل رياضي/المعادلات التفاضلية

عموميات

• ليكن $a$ عددا حقيقيا غير منعدم.

نريد أن نحدد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق على $ℝ$ والتي تحقق لكل $x$ من $ℝ$ : $f^{\prime }(x)=af(x)$ ✪

وإذا رمزنا للمجهول $f(x)$ بالرمز $y$ وللمشتقة $f^{\prime }(x)$ بالرمز $y^{\prime }$ فإن العلاقة ✪ تُكتب : $y^{\prime }=ay$

المتساوية $y^{\prime }=ay$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى.

كل دالة تحقق العلاقة ✪ تسمى حلا لهذه المعادلة التفاضلية. وحل المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$ يعني تحديد جميع هذه الحلول.

• ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

المتساوية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية و المعادلة $r^2+ar+b=0$ تسمى معادلتها المميزة.

حل المعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ يعني تحديد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق مرتين على $ℝ$ والتي تحقق لكل $x$ من $ℝ$ : $f^{″}(x)+a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$

المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$

خاصية

ليكن $a$ عددا حقيقيا.

حلول المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

$x\mapsto k{e}^{ax}$

حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.

ملاحظة : لكل $x_0$ و $y_0$ من $ℝ$ ، يوجد حل وحيد $f$ للمعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$ والذي يحقق $f(x_0)=y_0$

المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay+b$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين غير منعدمين.

حلول المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay+b$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

$x\mapsto k{e}^{ax}-\frac{b}{a}$

حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.

المعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. نعتبر المعادلة التفاضلية $(E):y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ ، ولتكن $(E^{\prime }):r^2+ar+b=0$ معادلتها المميزة.

• إذا كان للمعادلة $(E^{\prime })$ حلان حقيقيان $r_1$ و $r_2$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

$x\mapsto \alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

• إذا كان للمعادلة $(E^{\prime })$ حل حقيقي وحيد $r_0$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

$x\mapsto (\alpha x+\beta )e^{r_{0}x}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

• إذا كان للمعادلة $(E^{\prime })$ حلان عُقَدِيان مترافقان أحدهما $p+iq$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

$x\mapsto (\alpha \cos (qx)+\beta \sin (qx))e^{px}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

ملاحظة : في الحالة الثالثة يمكن كتابة الحلول على الشكل $x\mapsto A{e}^{px}\cos (qx+B)$ حيث $A$ و $B$ عددان حقيقيان ثابتان.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• الدوال الأصلية
• الدوال اللوغاريتمية
• الدوال الأسية
• التكامل

هناك ملفات عن Differential equations في ويكيميديا كومنز.