تحليل رياضي/المعادلات التفاضلية

عموميات

• ليكن $a$ عددا حقيقيا غير منعدم.

نريد أن نحدد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ والتي تحقق لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $f'(x)=af(x)$ ✪

وإذا رمزنا للمجهول $f(x)$ بالرمز $y$ وللمشتقة $f'(x)$ بالرمز $y'$ فإن العلاقة ✪ تُكتب : $y'=ay$

المتساوية $y'=ay$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى.

كل دالة تحقق العلاقة ✪ تسمى حلا لهذه المعادلة التفاضلية. وحل المعادلة التفاضلية $y'=ay$ يعني تحديد جميع هذه الحلول.

• ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

المتساوية $y''+ay'+by=0$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية و المعادلة $r^{2}+ar+b=0$ تسمى معادلتها المميزة.

حل المعادلة التفاضلية $y''+ay'+by=0$ يعني تحديد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق مرتين على $\mathbb {R}$ والتي تحقق لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $f''(x)+af'(x)+bf(x)=0$

المعادلة التفاضلية $y'=ay$

خاصية

ليكن $a$ عددا حقيقيا.

حلول المعادلة التفاضلية $y'=ay$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto ke^{ax}$

حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.

ملاحظة : لكل $x_{0}$ و $y_{0}$ من $\mathbb {R}$ ، يوجد حل وحيد $f$ للمعادلة التفاضلية $y'=ay$ والذي يحقق $f(x_{0})=y_{0}$

المعادلة التفاضلية $y'=ay+b$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين غير منعدمين.

حلول المعادلة التفاضلية $y'=ay+b$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto ke^{ax}-{\frac {b}{a}}$

حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.

المعادلة التفاضلية $y''+ay'+by=0$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. نعتبر المعادلة التفاضلية $(E):\;y''+ay'+by=0$ ، ولتكن $(E'):\;r^{2}+ar+b=0$ معادلتها المميزة.

• إذا كان للمعادلة $(E')$ حلان حقيقيان $r_{1}$ و $r_{2}$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto \alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

• إذا كان للمعادلة $(E')$ حل حقيقي وحيد $r_{0}$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto (\alpha x+\beta )e^{r_{0}x}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

• إذا كان للمعادلة $(E')$ حلان عُقَدِيان مترافقان أحدهما $p+iq$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto (\alpha \cos(qx)+\beta \sin(qx))e^{px}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

ملاحظة : في الحالة الثالثة يمكن كتابة الحلول على الشكل $x\mapsto Ae^{px}\cos(qx+B)$ حيث $A$ و $B$ عددان حقيقيان ثابتان.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• الدوال الأصلية
• الدوال اللوغاريتمية
• الدوال الأسية
• التكامل

هناك ملفات عن Differential equations في ويكيميديا كومنز.