تحليل رياضي/الدوال الأسية

الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من $ℝ^{+ *}$ نحو $ℝ$

تعريف الدالة الأسية النيبيرية

الدالة العكسية للدالة $\ln$ تسمى الدالة الأسية النيبيرية ويُرمز لها بالرمز $\exp$

ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln (\exp (r)) = r$ ونعلم أن : $\ln (e^{r}) = r \ln e = r$ إذن : $\ln (\exp (r)) = \ln (e^{r})$

وبالتالي : $\exp (r) = e^{r}$ لكل $r$ من $ℚ$

نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $ℝ$ فنكتب : $\exp (x) = e^{x}$ لكل $x$ من $ℝ$ .

لازمة

الدالة $\exp$ معرفة ومتصلة على $ℝ$
لكل $x$ من $ℝ$ : $e^{x} > 0$
لكل $x$ من $ℝ$ ولكل $y$ من $ℝ^{+ *}$ : $e^{x} = y ⟺ x = \ln y$
لكل $x$ من $ℝ$ : $\ln (e^{x}) = x$ ولكل $x$ من $ℝ^{+ *}$ : $e^{\ln x} = x$
الدالة $\exp$ تزايدية قطعا على $ℝ$
لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ، لدينا : $e^{x} = e^{y} ⟺ x = y$ و $e^{x} < e^{y} ⟺ x < y$
لكل عدد حقيقي $x$ ، لدينا : $e^{x} = 1 ⟺ x = 0$ و $e^{x} > 1 ⟺ x > 0$ و $e^{x} < 1 ⟺ x < 0$

خاصيات جبرية للدالة $\exp$

خاصية

لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ولكل عدد جذري $r$ ، لدينا :

$\begin{matrix} e^{x - y} & = \frac{e^{x}}{e^{y}} & e^{x + y} & = e^{x} e^{y} \\ (e^{x})^{r} & = e^{r x} & e^{- x} & = \frac{1}{e^{x}} \end{matrix}$

نهايات هامة

خاصية

$lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$
$lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$
$lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$
$lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$
$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

خاصية

لكل $n$ من $ℕ^{*}$ لدينا : $lim_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0$ و $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty$

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y = x$ (المنصف الأول للمعلم).
منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $- \infty$ (لأن $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ )
منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+ \infty$ (لأن $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ و $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ )
المستقيم ذو المعادلة $y = x + 1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J (0, 1)$

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

خاصية

الدالة $\exp$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ ولدينا لكل $x$ من $ℝ$ : $\exp^{'} (x) = e^{x}$

$\exp^{'} = \exp$

ملاحظة : الدالة التآلفية $x \mapsto x + 1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^{x} ≃ x + 1$ بجوار $0$

مشتقة الدالة $x \mapsto e^{u (x)}$

خاصية

إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$

فإن الدالة $f : x \mapsto e^{u (x)}$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f^{'} (x) = u^{'} (x) e^{u (x)}$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$

الدوال الأصلية للدالة $x \mapsto u^{'} (x) e^{u (x)}$ على $I$ هي الدوال $x \mapsto e^{u (x)} + c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.

الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من $ℝ^{+ *} ∖ {1}$ ، الدالة $\log_{a}$ تقابل من $ℝ^{+ *}$ نحو $ℝ$

تعريف

الدالة العكسية للدالة $\log_{a}$ تسمى الدالة الأسية للأساس $a$ ويُرمز لها بالرمز $\exp_{a}$

كتابة أخرى للعدد $\exp_{a} (x)$

لكل $x$ من $ℝ$ ولكل $y$ من $ℝ^{+ *}$ ، لدينا :

$\begin{matrix} x = \log_{a} (y) & ⟺ \exp_{a} (x) = y \\ x = \frac{\ln y}{\ln a} & ⟺ \exp_{a} (x) = y \\ \ln y = x \ln a & ⟺ \exp_{a} (x) = y \\ y = e^{x \ln a} & ⟺ \exp_{a} (x) = y \end{matrix}$ إذن $\exp_{a} = e^{x \ln a}$ لكل $x$ من $ℝ$

ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$ . لكل $r$ من $ℚ$ لدينا $\exp_{a} (r) = e^{r \ln a} = {(e^{\ln a})}^{r}$ أي : $\exp_{a} (r) = a^{r}$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $ℝ$ : $\exp_{a} (x) = a^{x}$

ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^{x}$ اعتبار الحالة $a = 1$ فيكون لدينا : $1^{x} = 1$ لكل $x$ من $ℝ$

خاصيات جبرية للدالة $\exp_{a}$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين قطعا. لكل $x$ و $y$ من $ℝ$ لدينا :

$a^{x + y} = a^{x} + a^{y}$
$a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
$a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$
$(a^{x})^{y} = a^{x y}$
$(a b)^{x} = a^{x} b^{x}$
${(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$

مشتقة الدالة $\exp_{a}$

خاصية

الدالة $\exp_{a}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ ولدينا لكل $x$ من $ℝ$ : $(\exp_{a})^{'} (x) = (\ln a) . a^{x}$

ملاحظة : إذا كان $a > 1$ فإن الدالة $\exp_{a}$ تزايدية قطعا على $ℝ$ ، وإذا كان $0 < a < 1$ فإن الدالة $\exp_{a}$ تناقصية قطعا على $ℝ$

نهايات الدالة $\exp_{a}$

خاصية

إذا كان $a > 1$ فإن : $lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ و $lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$

وإذا كان $0 < a < 1$ فإن : $lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty$ و $lim_{x \to + \infty} a^{x} = 0$

انظر أيضا

هناك ملفات عن Exponential functions في ويكيميديا كومنز.

الدالة الأسية النيبيرية

خاصيات جبرية للدالة exp

نهايات هامة

التمثيل المبياني للدالة exp

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

مشتقة الدالة x↦eu(x)

الدالة الأسية للأساس a

كتابة أخرى للعدد expa(x)

خاصيات جبرية للدالة expa

مشتقة الدالة expa

نهايات الدالة expa

انظر أيضا

خاصيات جبرية للدالة $\exp$

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

مشتقة الدالة $x \mapsto e^{u (x)}$

الدالة الأسية للأساس $a$

كتابة أخرى للعدد $\exp_{a} (x)$

خاصيات جبرية للدالة $\exp_{a}$

مشتقة الدالة $\exp_{a}$

نهايات الدالة $\exp_{a}$