تحليل رياضي/الدوال الأصلية

دالة أصلية لدالة على مجال

تعريف

لتكن $f$ و $F$ دالتين معرفتين على مجال $I$

نقول إن $F$ هي دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ إذا كانت $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ و $F^{\prime }(x)=f(x)$ لكل $x$ من $I$

خاصية

كل دالة متصلة على مجال $I$ تقبل دالة أصلية على هذا المجال.

الدوال الأصلية لدالة متصلة

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$

• إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ فإن الدوال اللأصلية للدالة $f$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto F(x)+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.
• لكل $x_0$ من $I$ و $y_0$ من $ℝ$ ، توجد دالة أصلية وحيدة $G$ للدالة $f$ على المجال $I$ بحيث : $G(x_0)=y_0$

جدول الدوال الأصلية لبعض الدوال الاعتيادية

الجدول التالي يُعطي الدوال الأصلية لبعض الدوال الاعتيادية على مجال $I$ حيث $c$ ثابتة حقيقية

الدوال الأصلية لبعض الدوال الاعتيادية

الدالة	الدوال الأصلية	المجال $I$
$x\mapsto 0$	$x\mapsto c$	$ℝ$
$x\mapsto a$	$x\mapsto ax+c$	$ℝ$
$x\mapsto x^n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$	$x\mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}+c$	$ℝ$
$x\mapsto x^n(n\in {\mathbb{Z}}^{-\ast }\setminus \{-1\})$	$x\mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}+c$	${ℝ}^{+\ast }$ أو ${ℝ}^{-\ast }$
$x\mapsto x^r(r\in {\mathbb{Q}}^{-\ast }\setminus \{-1\})$	$x\mapsto \frac{x^{r+1}}{r+1}+c$	${ℝ}^{+\ast }$
$x\mapsto \frac{1}{x^2}$	$x\mapsto -\frac{1}{x}+c$	${ℝ}^{+\ast }$ أو ${ℝ}^{-\ast }$
$x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$	$x\mapsto 2\sqrt{x}+c$	${ℝ}^{+\ast }$
$x\mapsto \cos x$	$x\mapsto \sin x+c$	$ℝ$
$x\mapsto \sin x$	$x\mapsto -\cos x+c$	$ℝ$
$x\mapsto \cos (ax+b)(a\in {ℝ}^{\ast })$	$x\mapsto \frac{1}{a}\sin (ax+b)+c$	$ℝ$
$x\mapsto \sin (ax+b)(a\in {ℝ}^{\ast })$	$x\mapsto -\frac{1}{a}\cos (ax+b)+c$	$ℝ$
$x\mapsto 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$x\mapsto \tan x+c$	$]-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi [,(k\in \mathbb{Z})$
$x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$	$x\mapsto \arctan x+c$	$ℝ$
$x\mapsto \frac{u^{\prime }(x)}{1+(u(x){)}^2}$	$x\mapsto \arctan (u(x))+c$	$D_{u^{\prime }}$

انظر أيضا

• التكامل
• الاشتقاق
• الاتصال
• دراسة الدوال العددية
• المعادلات التفاضلية