تحليل رياضي/الاتصال
اتصال دالة في نقطة
[عدل]
إذا كانت الدالة غير متصلة في فإننا نقول إنها منقطعة في
الاتصال على اليمين - الاتصال على اليسار
[عدل]لتكن دالة معرفة على مجال من النوع حيث عدد حقيقي موجب قطعا.
نقول إن متصلة على اليمين في إذا كان :
لتكن دالة معرفة على مجال من النوع حيث عدد حقيقي موجب قطعا.
نقول إن متصلة على اليسار في إذا كان :
لتكن دالة معرفة على مجال مفتوح وليكن عنصرا من
تكون متصلة في إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين وعلى اليسار في
دالة الجزء الصحيح
[عدل]دالة الجزء الصحيح هي الدالة التي تربط كل عدد حقيقي بالعدد الصحيح النسبي الوحيد الذي يحقق
يُرمَزُ لصورة بهذه الدالة بالرمز
- دالة الجزء الصحيح متصلة في كل عدد من
- دالة الجزء الصحيح متصلة على اليمين في كل عدد من وغير متصلة على اليسار في
التمديد بالاتصال
[عدل]لتكن دالة عددية و مجموعة تعريفها. وليكن عددا حقيقيا بحيث
إذا كانت للدالة نهاية منتهية في العدد فإن الدالة المعرفة بما يلي متصلة في
الاتصال على مجال
[عدل]- نقول إن دالة متصلة على مجال مفتوح إذا كانت متصلة في كل عدد من
- نقول إن دالة متصلة على مجال مغلق إذا كانت متصلة على المجال المفتوح ومتصلة على اليمين في وعلى اليسار في
- كل دالة حدودية متصلة على
- كل دالة جذرية متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها.
- الدالتان و متصلتان على
- الدالة متصلة على
- الدالة متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها.
- إذا كانت و دالتين متصلتين على مجال فإن الدوال و و (مع ) دوال متصلة على
- إذا كانت و دالتين متصلتين على مجال و لكل من فإن الدالة متصلة على
اتصال مركب دالتين
[عدل]لتكن دالة معرفة على مجال ، و دالة معرفة على مجال بحيث ، وليكن عنصرا من
إذا كانت متصلة في و متصلة في فإن الدالة متصلة في
ومنه إذا كانت متصلة على و متصلة على فإن الدالة متصلة على
مركب دالة متصلة ودالة تقبل نهاية
[عدل]لتكن دالة معرفة على مجال مفتوح منقط مركزه ، و دالة معرفة على مجال مفتوح مركزه بحيث
إذا كان و متصلة في العدد فإن :
ملاحظة: باعتبار مجال مناسب ،
- إذا كان و متصلة في فإن
- إذا كان و متصلة في فإن
- وبالمثل بالنسبة للنهاية على اليسار في والنهاية عند .
صورة مجال بدالة متصلة
[عدل]تذكير: المجال هو جزء من بحيث لكل و من القطعة توجد ضمن
ملاحظات:
- اتصال دالة هو شرط كاف لكي تكون صورة مجال هي مجال، لكن هذا الشرط ليس لازما، إذ يمكن أن تكون صورة مجال بدالة غير متصلة عليه هي أيضا مجال.
- المجالان و ليسا دائما من نفس النوع، فصورة المجال نصف المغلق مثلا بالدالة هي القطعة
- إذا كان المجال قطعة، فإن لدينا الخاصية التالية:
مبرهنة القيم الوسيطية
[عدل]إذا كانت دالة متصة على قطعة ، فإن لكل عدد حقيقي محصور بين و ، يوجد على الأقل عدد حقيقي من المجال بحيث
حالة خاصة لمبرهنة القيم الوسيطية
[عدل]
الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة قطعا
[عدل]
خاصيات الدالة العكسية
[عدل]إذا كانت دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال فإن تقبل دالة عكسية :
- الدالة معرفة ومتصلة على المجال
- الدالة رتيبة قطعا على ولها نفس منحى تغيير
- منحنى ومنحنى ، في معلم متعامد ممنظم، متماثلان بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة
دالة قوس الظل
[عدل]
- الدالة معرفة من نحو
- لكل من ولكل من لدينا :
- الدالة متصلة وتزايدية قطعا على
- و
- و
- الدالة فردية (لكل من : )
دالة الجذر من الرتبة
[عدل]ليكن عنصرا من
دالة الجذر من الرتبة هي الدالة العكسية لقصور الدالة على
يُرمز لصورة عدد حقيقي موجب بدالة الجذر من الرتبة بالرمز ويُقرأ الجذر من الرتبة للعدد
ولدينا لكل و من :
العمليات على الجذور من الرتبة
[عدل]
اتصال ونهاية مركب دالة ودالة الجذر من الرتبة
[عدل]لتكن دالة معرفة وموجبة على مجال و عنصرا من
- إذا كانت متصلة على فإن الدالة متصلة على
- إذا كان فإن :
- إذا كان فإن :
القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا
[عدل]ليكن عددا حقيقيا موجبا قطعا و عددا جذريا غير منعدم حيث و
العدد هو العدد ويسمى القوة الجذرية للعدد ذات الأس
العمليات على القوى الجذرية
[عدل]
ملاحظة : القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا لها نفس خاصيات القوى الصحيحة لعدد حقيقي غير منعدم.
انظر أيضا
[عدل]هناك ملفات عن Continuity (functions) في ويكيميديا كومنز. |