في هذا الدرس سنحاول تعريف مفهوم النهاية بالنسبة للمبتدئين , مفهوم نهاية الدالة مفهوم أساسي في علم التحليل الرياضي , نهاية دالة ترتبط بالسلوك الذي تتبعه الدالة عند محدات مجموعة تعريفها . وأهمية النهايات في بعض المواضيع الرياضية الأخرى كالاشتقاق و الاتصال.
للخوض في مفهوم النهايات يجب على المتعلم على مجموعة من المهارات المنطقية و الأدوات الرياضياتية أهمها القدرة على صياغة البراهين فالنهايات أو التحليل بأكمله و الكثير من فروع الرياضيات يحتاج إلى الدقة و الملاحظة و سلاسة البراهين و انسجام الحجج.
المكتسبات القبلية:
الدوال : التغير - المركب - الدوال الحدودية - الدوال الجذرية و الدوال اللاجذرية - الدوال المثلثية - .
المنطق : المكممات - الاستلزام و التكافئ ...
أساسيات الجبر [ عدل ] النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
l
{\displaystyle l}
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
l
{\displaystyle l}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
l
{\displaystyle l}
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=l}
مثال:
lim
x
→
0
s
i
n
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}=1}
يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:
كلما اقترب
x
{\displaystyle x}
p
{\displaystyle p}
δ
{\displaystyle \delta }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
l
{\displaystyle l}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
الدالة
f
{\displaystyle f}
l
{\displaystyle l}
p
{\displaystyle p}
∀
ε
>
0
,
∃
δ
ε
>
0
,
∀
x
∈
]
p
−
δ
ε
,
p
+
δ
ε
[
∩
D
,
|
f
(
x
)
−
l
|
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta _{\varepsilon }>0,\forall x\in ]p-\delta _{\varepsilon },p+\delta _{\varepsilon }[\cap {\mathcal {D}},~|f(x)-l|\leq \varepsilon }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
[ عدل ] في بعض الدوال الغيرمتصلة تكون النهاية غير حقيقية في بعض النقط.وتكون إما
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
الإتصال ).كلما أقترب
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
0
+
{\displaystyle 0^{+}}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
0
{\displaystyle 0}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{f(x)}=+\infty }
0
{\displaystyle 0}
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
x
{\displaystyle x}
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{f(x)}=-\infty }
f
{\displaystyle f}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
∀
M
>
0
,
∃
δ
M
>
0
,
∀
x
∈
]
x
1
−
δ
M
,
x
1
+
δ
M
[
∩
D
,
f
(
x
)
≥
M
{\displaystyle \forall M>0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{1}-\delta _{M},x_{1}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\geq M}
f
{\displaystyle f}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
x
2
{\displaystyle x_{2}}
∀
M
<
0
,
∃
δ
M
>
0
,
∀
x
∈
]
x
2
−
δ
M
,
x
2
+
δ
M
[
∩
D
,
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle \forall M<0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{2}-\delta _{M},x_{2}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\leq M}
f
{\displaystyle f}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
∀
M
>
0
,
∃
δ
M
>
0
,
∀
x
∈
]
x
1
−
δ
M
,
x
1
+
δ
M
[
∩
D
,
f
(
x
)
≥
M
{\displaystyle \forall M>0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{1}-\delta _{M},x_{1}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\geq M}
f
{\displaystyle f}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
x
2
{\displaystyle x_{2}}
∀
M
<
0
,
∃
δ
M
>
0
,
∀
x
∈
]
x
2
−
δ
M
,
x
2
+
δ
M
[
∩
D
,
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle \forall M<0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{2}-\delta _{M},x_{2}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\leq M}
[ عدل ]
نأخذ نفس المثال السابق
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
0
{\displaystyle 0}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
لانهاية فان صورته تؤول نحو الصفر .
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
و نكتب:
lim
x
→
+
∞
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0}
lim
x
→
+
∞
1
x
=
0
+
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0^{+}}
لانهاية :
lim
x
→
−
∞
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0}
lim
x
→
+
∞
1
x
=
0
+
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0^{+}}
lim
|
x
|
→
+
∞
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{|x|\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0}
f
{\displaystyle f}
l
{\displaystyle l}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
∀
ε
>
0
,
∃
A
>
0
,
∀
x
∈
D
,
x
>
A
⟹
|
f
(
x
)
−
l
|
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists A>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>A\Longrightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon }
f
{\displaystyle f}
l
{\displaystyle l}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
∀
ε
>
0
,
∃
A
<
0
,
∀
x
∈
D
,
x
<
A
⟹
|
f
(
x
)
−
l
|
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists A<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<A\Longrightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon }
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
[ عدل ] نأخذ كمثال دالة المربع
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
{\displaystyle x}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
{\displaystyle x}
lim
x
→
+
∞
x
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{x^{2}}=+\infty }
lim
x
→
−
∞
x
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{2}}=+\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
{\displaystyle f}
∀
M
>
0
,
∃
N
>
0
,
∀
x
∈
D
,
x
>
N
,
f
(
x
)
>
M
{\displaystyle \forall M>0,\exists N>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>N,f(x)>M}
f
{\displaystyle f}
∀
M
>
0
,
∃
N
<
0
,
∀
x
∈
D
,
x
<
N
,
f
(
x
)
>
M
{\displaystyle \forall M>0,\exists N<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<N,f(x)>M}
دالة المربع
−
∞
{\displaystyle -\infty }
f
{\displaystyle f}
∀
M
<
0
,
∃
N
>
0
,
∀
x
∈
D
,
x
>
N
,
f
(
x
)
<
M
{\displaystyle \forall M<0,\exists N>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>N,f(x)<M}
f
{\displaystyle f}
∀
M
<
0
,
∃
N
<
0
,
∀
x
∈
D
,
x
<
N
,
f
(
x
)
<
M
{\displaystyle \forall M<0,\exists N<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<N,f(x)<M}
[ عدل ]
lim
a
f
l
l
~,~
+
∞
l
~,~
−
∞
+
∞
lim
a
g
l
′
+
∞
−
∞
−
∞
lim
a
(
f
+
g
)
l
+
l
′
+
∞
−
∞
--
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l{\textrm {~,~}}+\infty &l{\textrm {~,~}}-\infty &+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty &-\infty &-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f+g)}&l+l'&+\infty &-\infty &\color {Red}{\textrm {--}}\\\hline \end{array}}}
شكلا غير محدد وهو نتيجة لا يمكن حسابها.
lim
a
f
l
l
≠
0
+
∞
~,~
−
∞
0
lim
a
g
l
′
+
∞
~,~
−
∞
+
∞
~,~
−
∞
+
∞
~,~
−
∞
lim
a
(
f
×
g
)
l
×
l
′
+
∞
~,~
−
∞
+
∞
~,~
−
∞
---
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l\not =0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &+\infty {\textrm {~,~}}-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f\times g)}&l\times l'&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }&\color {Red}{\textrm {---}}\\\hline \end{array}}}
جداء الإشارات
lim
a
f
l
l
+
∞
~,~
−
∞
0
+
∞
~,~
−
∞
l
≠
0
lim
a
g
l
′
≠
0
+
∞
~,~
−
∞
l
′
≠
0
0
+
∞
~,~
−
∞
0
lim
a
f
g
l
l
′
0
+
∞
~,~
−
∞
--
--
+
∞
~,~
−
∞
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &l\not =0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'\not =0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &l'\not =0&0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\frac {f}{g}}}&\displaystyle {\frac {l}{l'}}&0&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }&\color {Red}{\textrm {--}}&\color {Red}{\textrm {--}}&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }\\\hline \end{array}}}
جداء الإشارات
نعتبر الدالة المركبة
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h
(
x
)
=
f
o
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=fog(x)}
o
{\displaystyle o}
رُو
h
{\displaystyle h}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
l
′
{\displaystyle l'}
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
1
{\textstyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\sin(x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
1
−
cos
(
x
)
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\tfrac {1}{2}}}
lim
x
→
0
tan
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\tan(x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
arctan
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\arctan(x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
ln
(
x
+
1
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\ln(x+1)}{x}}=1}
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {e^{x}-1}{x}}=1}
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta _{\varepsilon }>0,\forall x\in ]p-\delta _{\varepsilon },p+\delta _{\varepsilon }[\cap {\mathcal {D}},~|f(x)-l|\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f825cdd866dbc59e792ee54334ea04c9d095fc05)
![{\displaystyle \forall M>0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{1}-\delta _{M},x_{1}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\geq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fccbffcece1620cbde1f572e2d4908b4959e2b)
![{\displaystyle \forall M<0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{2}-\delta _{M},x_{2}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e317d35efd5c636c363f8a3b7c2020004e5bad8b)
