تحليل رياضي/نهاية الدالة

في هذا الدرس سنحاول تعريف مفهوم النهاية بالنسبة للمبتدئين , مفهوم نهاية الدالة مفهوم أساسي في علم التحليل الرياضي , نهاية دالة ترتبط بالسلوك الذي تتبعه الدالة عند محدات مجموعة تعريفها . وأهمية النهايات في بعض المواضيع الرياضية الأخرى كالاشتقاق و الاتصال.

تمهيد

للخوض في مفهوم النهايات يجب على المتعلم على مجموعة من المهارات المنطقية و الأدوات الرياضياتية أهمها القدرة على صياغة البراهين فالنهايات أو التحليل بأكمله و الكثير من فروع الرياضيات يحتاج إلى الدقة و الملاحظة و سلاسة البراهين و انسجام الحجج. المكتسبات القبلية:

• الدوال : التغير - المركب - الدوال الحدودية - الدوال الجذرية و الدوال اللاجذرية - الدوال المثلثية - .
• المنطق : المكممات - الاستلزام و التكافئ ...
• أساسيات الجبر

النهاية المنتهية عند نقطة

مثال للفهم

النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة $f(x)$ تقبل نهاية $l$ عند $a$ يعني: أن الدالة $f(x)$ تقترب من نهايتها $l$ كلما اقترب المتغير من $a$ بتعبير رياضي نقول :
عندما يؤول $x$ نحو $a$ فإن $f(x)$ تؤول نحو $l$ . ونكتب $\underset{x\to a}{lim}f(x)=l$

مثال: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=1$

التعريف بالمكممات

يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:

كلما اقترب $x$ من $p$ بفرق قيمته المطلقة أقل من $\delta$ فان $f(x)$ تقترب من $l$ و تكون القيمة المطلقة للفرق بينهما أصغر من$\epsilon$

الدالة $f$ تقبل نهاية $l$ عند $p$إذا و فقط إذا:
$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0,\mathrm{\forall }x\in ]p-{\delta }_{\epsilon },p+{\delta }_{\epsilon }[\cap 𝒟,|f(x)-l|\le \epsilon$
$\epsilon$ عدد صغير جدا
$\delta$ عدد صغير جدا

النهاية اللامنتهية عند نقطة

مثال للفهم

في بعض الدوال الغيرمتصلة تكون النهاية غير حقيقية في بعض النقط.وتكون إما $+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$ مثال: $f(x)=\frac{1}{x}$
نلاحظ من المبيان أعلاه أن الرسم مكون من قسمين أي أن الدالة غير متصلة (درس الإتصال).كلما أقترب $x$ من $0$ على اليمين أونقول $0^{+}$ ( صفر زائد أو صفر موجب أو جوار صفر على اليمين أي القيم الموجبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001)فإن $y$ يأخذ قيم موجبة كبيرة جدا فنقول أن نهاية $f$ يمين $0$ هي $+\mathrm{\infty }$ (زائد لاناهية وهو عدد غير حقيقي) و نكتب $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.والعكس بالنسبة $0$ على اليسار أي $0^{-}$ ( أي القيم السالبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001-) عندما تؤول قيم $x$ نحو $0$ فان مقلوبها يكون صغير جدا و سالب إذن النهاية هنا ناقص لانهاية $-\mathrm{\infty }$ ونقول إن الدالة تؤول نحو ناقص لانهاية عندما يؤول $x$ نحو $0^{-}$.
أي: $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

التعريف بالمكممات

• $f$ تؤول نحو $+\mathrm{\infty }$ بجوار نقطة $x_1$ يكافئ:

$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }{\delta }_M>0,\mathrm{\forall }x\in ]x_1-{\delta }_M,x_1+{\delta }_M[\cap 𝒟,f(x)\ge M$

• $f$ تؤول نحو $-\mathrm{\infty }$ بجوار نقطة $x_2$ يكافئ:

$\mathrm{\forall }M<0,\mathrm{\exists }{\delta }_M>0,\mathrm{\forall }x\in ]x_2-{\delta }_M,x_2+{\delta }_M[\cap 𝒟,f(x)\le M$

التعريف بالمكممات

• $f$ تؤول نحو $+\mathrm{\infty }$ بجوار نقطة $x_1$ يكافئ:

$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }{\delta }_M>0,\mathrm{\forall }x\in ]x_1-{\delta }_M,x_1+{\delta }_M[\cap 𝒟,f(x)\ge M$

• $f$ تؤول نحو $-\mathrm{\infty }$ بجوار نقطة $x_2$ يكافئ:

$\mathrm{\forall }M<0,\mathrm{\exists }{\delta }_M>0,\mathrm{\forall }x\in ]x_2-{\delta }_M,x_2+{\delta }_M[\cap 𝒟,f(x)\le M$

النهاية المنتهية عند اللانهاية

مثال للفهم

نأخذ نفس المثال السابق $f(x)=\frac{1}{x}$ نعلم أن الدالة معرفة على جميع نقط $ℝ$ ماعدا $0$ . بالنسبة لهذه الدالة نلاحظ أنه كلما كبر $x$ فان $f(x)$ يصغر .أي عندما يؤول المتغير نحو الزائد لانهاية فان صورته تؤول نحو الصفر.

$f(x)=\frac{1}{x}$

و نكتب: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$
أو بالأحرى $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0^{+}$ لأنها موجبة .
و بالمثل عند الناقص لانهاية :$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$
و لنكون أكثر دقة :$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0^{+}$
يمكن أن نجمع الحالتين معا في : $\underset{|x|\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$

التعريف بالمكممات

• $f$ تقبل نهاية $l$ عند $+\mathrm{\infty }$ تكافئ:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }A>0,\mathrm{\forall }x\in 𝒟,x>A⟹|f(x)-l|\le \epsilon$

• $f$ تقبل نهاية $l$ عند $-\mathrm{\infty }$ تكافئ:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }A<0,\mathrm{\forall }x\in 𝒟,x<A⟹|f(x)-l|\le \epsilon$
- $𝒟$ مجموعة تعريف الدالة.

النهاية اللامنتهية عند اللانهاية

مثال للفهم

نأخذ كمثال دالة المربع $x^2$ المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بكاملها.
كلما كبر $x$ فان $x^2$ يصبح أكبر كذلك و نقول أن الدالة تؤول نحو الزائد لانهاية عندما يؤول $x$ نحو زائد لانهاية نفس الشيء عندما يؤول إلى ناقص لانهاية .
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=+\mathrm{\infty }$ و $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=+\mathrm{\infty }$

التعريف بالمكممات

1. $+\mathrm{\infty }$

• $f$ تؤول نحو زائد لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:

$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }N>0,\mathrm{\forall }x\in 𝒟,x>N,f(x)>M$

• $f$ تؤول نحو زائد لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:

$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }N<0,\mathrm{\forall }x\in 𝒟,x<N,f(x)>M$

دالة المربع

1. $-\mathrm{\infty }$

• $f$ تؤول نحو ناقص لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:

$\mathrm{\forall }M<0,\mathrm{\exists }N>0,\mathrm{\forall }x\in 𝒟,x>N,f(x)<M$

• $f$ تؤول نحو ناقص لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:

$\mathrm{\forall }M<0,\mathrm{\exists }N<0,\mathrm{\forall }x\in 𝒟,x<N,f(x)<M$

العمليات على النهايات

نهاية المجموع

$\begin{array}{ccccc}\underset{a}{lim}f& l& l\text{~,~}+\mathrm{\infty }& l\text{~,~}-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{lim}g& l^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{lim}(f+g)& l+l^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& \text{--}\end{array}$
الخانة الفارغة تحتوي شكلا غير محدد وهو نتيجة لا يمكن حسابها.

نهاية الجداء

$\begin{array}{ccccc}\underset{a}{lim}f& l& l≠0& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{a}{lim}g& l^{\prime }& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{lim}(f\times g)& l\times l^{\prime }& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& \text{---}\end{array}$
لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهايةالخارج (القسمة)

$\begin{array}{ccccccc}\underset{a}{lim}f& l& l& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& 0& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& l≠0\\ \underset{a}{lim}g& l^{\prime }≠0& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& l^{\prime }≠0& 0& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{a}{lim}\frac{f}{g}& \frac{l}{l^{\prime }}& 0& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }& \text{--}& \text{--}& +\mathrm{\infty }\text{~,~}-\mathrm{\infty }\end{array}$
لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهاية مركب الدوال

نعتبر الدالة المركبة $h(x)=f(g(x))$ وتكتب على الشكل $h(x)=fog(x)$ الرمز $o$ ينطق رُو
نهاية $h$ هي نهاية $f$ لكن المتغير يصبح $g$ ويصبح يؤول نحو $l^{\prime }$

نهايات إعتيادية

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}=1$ ، $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos (x)}{x^2}=\frac{1}{2}$ ، $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (x)}{x}=1$ ، $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\arctan (x)}{x}=1$ ، $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (x+1)}{x}=1$ ، $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$

هناك ملفات عن Convergence في ويكيميديا كومنز.