النسبية العامة/ما هو التينسور؟

من ويكي الكتب
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

Gtk-zoom-in.svg للمزيد من التفاصيل طالع مقالة ويكيبيديا: تينسور.


التينسور كيان مُجرّد بشدة. وهذا التجريد هو ما يَجْعلُه شيء صعب جداً للوَصْف، مع هذا يُمْكِنُنا أَنْ نَبْدأَ بتلمس ملامح التينسور tensor من خلال مثال غير تجريدي .

إذا افترضنا أنك تبحر وإنّ الريحَ تَأتي مِنْ إتّجاه معين ويُمْكِنُ أَنْ تُوْصَفَ ك شعاع ، أو كمية إتجاهية. الآن هناك عدّة أشكال لتَمْثيل هذا الشعاع. على سبيل المثال، يُمْكِنُك أَنْ تُمثّلَه كسرعة ذات إتّجاه معيّن. بدلاً عن ذلك، أنت يُمْكِنُ أَنْ تُحلله إلى المركبات الأساسية له وتَصِفُ الموجهَ كمجموعة مقادير معينة من الريحِ الشرقيةِ والأخرى جنوبية. لكن على الرغم مِنْ الطرقِ المختلفةِ لوَصْف هذا الشعاع (السرعة) ، ما زالَ هناك هذا الشيءِ المُجرّدِ المبطن—سرعة الريح في إتّجاه معيّن .

الآن هناك موجه مهم آخر—القوة التي تُنتجُها الريحَ عندما تَضْربُ الشراعَ. إذا كَانَ إتّجاهِ القوةِ دائماً و تماماً موافقا لإتّجاه الريحِ، يُمْكِنُنا أَنْ نُمثّلَ العلاقةَ بشكل قياسي وذلك بضرب سعاع الريحَ بعامل ثابت للحُصُول على شعاع القوةَ.

على أية حال، الحياة لَيستْ بتلك السهولة التي نفترضها لأن القوةَ لَيستْ دائماً في إتّجاهِ الريحِ. و غالبا ما تكوت الحالة كذلك . لذا لا يمكننا تَمْثيل العلاقةِ بين الريحِ والقوةِ بواسطة عامل تناسب (قياسي) scalar بسيط. لكن, هناك حقيقة مفيدة مهمة واحدة يُمْكِنُنا أَنْ نَستعملَها—العلاقة بين سرعةِ الريحَ والقوةَ على الشراعِ خطيّة . لذلك، إذا تُضاعفت سرعةَ الريحِ، تُضاعفت القوة. الحقيقة بأنّ هذه العلاقة الخطيّة تمكننا من صياغتها بشكل مصفوفة :

لاحظ انه كما يمكنك تغيير طريقة تمثيل و وصف سرعة الريح و القوة التي تنتجها يمكنك تغيير طريقة تمثيل المصفوفة المرتبطة بهذين المقدارين .

في الحقيقة، حينما تُغيّرُ تمثيلات الريحِ والقوى ، عليك مباشرة أَنْ تُغيّرَ تمثيل المصفوفةَ لكي تَتحدّثَ عن نفس الحالةِ . على أية حال، كما أن الشعاع شيءُ مُجرّدُ يُمْكِنُ أَنْ يُمثّلَ الريحَ أَو القوةَ الذي تُنتجُها الريحَ عندما تَضْربُ الشراعَ، فهناك نوع آخر مِنْ الكيانات المُجرّدِة يُمْكِنك أَنْ تَستعملَها لتَمْثيل العلاقةِ بين هذه الأشياءِ. بشكل رمزي يمكن كتابة :

الرمز في المنتصفِ، T ، هو مثالُ عن التينسور. و هو شيء مُجرّد جداً، لَكنَّنا الآن يُمْكِنُ أَنْ نَبْدأَ برُؤية قوَّةِ هذا التجريدِ. أولاً يُمْكِنُك أَنْ تصيغ علاقات جبرية باستخدام التينسورات tensors. لذا، إذا كان لديك بدلاً مِنْ شراعِ واحد T ، شراعان T و U . يُمْكِنُنا أَنْ نُمثّلَ القوةَ الكليّةَ :

بما ان مصفوفتين و كلاهما خطيتين يمكننا جمعهما لإنتاج تينسور جديد V :

حيث

يمكننا ايضا ضرب تينسورين مع بعضهما البعض.

لقد حددنا الآن القوة التي تؤثر بها الريح على السفينة لكن ماذا بشأن القوة التي تؤثر بها السفينة على الماء :

حيث التينسور

يمثل السفينة و الشراع.