تحليل رياضي/نهاية الدالة

في هذا الدرس سنحاول تعريف مفهوم النهاية بالنسبة للمبتدئين , مفهوم نهاية الدالة مفهوم أساسي في علم التحليل الرياضي , نهاية دالة ترتبط بالسلوك الذي تتبعه الدالة عند محدات مجموعة تعريفها . وأهمية النهايات في بعض المواضيع الرياضية الاخرى كالاشتقاق و الاتصال.

تمهيد

للخوض في مفهوم النهايات يجب على المتعلم على مجموعة من المهارات المنطقية و الأدوات الرياضياتية أهمها القدرة على صياغة البراهين فالنهايات أو التحليل بأكمله و الكثير من فروع الرياضيات يحتاج إلى الدقة و الملاحظة و سلاسة البراهين و انسجام الحجج. المكتسبات القبلية:

الدوال : التغير - المركب - الدوال الحدودية - الدوال الجذرية و الدوال اللاجذرية - الدوال المثلثية - .
المنطق : المكممات - الاستلزام و التكافئ ...
اساسيات الجبر

النهاية المنتهية عند نقطة

مثال للفهم

النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة $f(x)$ تقبل نهاية $l$ عند $a$ يعني: أن الدالة $f(x)$ تقترب من نهايتها $l$ كلما اقترب المتغير من $a$ بتعبير رياضي نقول :
عندما يؤول $x$ نحو $a$ فإن $f(x)$ تؤول نحو $l$ . ونكتب $\lim _{x\to a}f(x)=l$

مثال: $\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}=1$

التعريف بالمكممات

يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:

كلما اقترب $x$ من $p$ بفرق قيمته المطلقة أقل من $\delta$ فان $f(x)$ تقترب من $l$ و تكون القيمة المطلقة للفرق بينهما أصغر من $\varepsilon$

الدالة $f$ تقبل نهاية $l$ عند $p$ إذا و فقط اذا:
$\forall \varepsilon >0,\exists \delta _{\varepsilon }>0,\forall x\in ]p-\delta _{\varepsilon },p+\delta _{\varepsilon }[\cap {\mathcal {D}},~|f(x)-l|\leq \varepsilon$
$\varepsilon$ عدد صغير جدا
$\delta$ عدد صغير جدا

النهاية اللامنتهية عند نقطة

مثال للفهم

في بعض الدوال الغيرمتصلة تكون النهاية غير حقيقية في بعض النقط.وتكون إما $+\infty$ أو $-\infty$ مثال: $f(x)={\frac {1}{x}}$
نلاحظ من المبيان أعلاه أن الرسم مكون من قسمين أي أن الدالة غير متصلة (درس الإتصال).كلما أقترب $x$ من $0$ على اليمين أونقول $0^{+}$ ( صفر زائد أو صفر موجب أو جوار صفر على اليمين أي القيم الموجبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001)فإن $y$ يأخذ قيم موجبة كبيرة جدا فنقول أن نهاية $f$ يمين $0$ هي $+\infty$ (زائد لاناهية وهو عدد غير حقيقي) و نكتب $\lim _{x\to 0^{+}}{f(x)}=+\infty$ .والعكس بالنسبة $0$ على اليسار أي $0^{-}$ ( أي القيم السالبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001-) عندما تؤول قيم $x$ نحو $0$ فان مقلوبها يكون صغير جدا و سالب إذن النهاية هنا ناقص لانهاية $-\infty$ ونقول إن الدالة تؤول نحو ناقص لانهاية عندما يؤول $x$ نحو $0^{-}$ .
أي: $\lim _{x\to 0^{-}}{f(x)}=-\infty$

التعريف بالمكممات

$f$ تؤول نحو $+\infty$ بجوار نقطة $x_{1}$ يكافئ:

$\forall M>0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{1}-\delta _{M},x_{1}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\geq M$

$f$ تؤول نحو $-\infty$ بجوار نقطة $x_{2}$ يكافئ:

$\forall M<0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{2}-\delta _{M},x_{2}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\leq M$

التعريف بالمكممات

$f$ تؤول نحو $+\infty$ بجوار نقطة $x_{1}$ يكافئ:

$\forall M>0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{1}-\delta _{M},x_{1}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\geq M$

$f$ تؤول نحو $-\infty$ بجوار نقطة $x_{2}$ يكافئ:

$\forall M<0,\exists \delta _{M}>0,\forall x\in ]x_{2}-\delta _{M},x_{2}+\delta _{M}[\cap {\mathcal {D}},~f(x)\leq M$

النهاية المنتهية عند اللانهاية

مثال للفهم

نأخذ نفس المثال السابق $f(x)={\frac {1}{x}}$ نعلم أن الدالة معرفة على جميع نقط $\mathbb {R}$ ماعدا $0$ . بالنسبة لهذه الدالة نلاحظ أنه كلما كبر $x$ فان $f(x)$ يصغر .أي عندما يؤول المتغير نحو الزائد لانهاية فان صورته تؤول نحو الصفر.

و نكتب: $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0$
أو بالأحرى $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0^{+}$ لأنها موجبة .
و بالمثل عند الناقص لانهاية : $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0$
و لنكون أكثر دقة : $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0^{+}$
يمكن أن نجمع الحالتين معا في : $\lim _{|x|\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0$

التعريف بالمكممات

$f$ تقبل نهاية $l$ عند $+\infty$ تكافئ:

$\forall \varepsilon >0,\exists A>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>A\Longrightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon$

$f$ تقبل نهاية $l$ عند $-\infty$ تكافئ:

$\forall \varepsilon >0,\exists A<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<A\Longrightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon$
- ${\mathcal {D}}$ مجموعة تعريف الدالة.

النهاية اللامنتهية عند اللانهاية

مثال للفهم

نأخذ كمثال دالة المربع $x^{2}$ المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بكاملها.
كلما كبر $x$ فان $x^{2}$ يصبح أكبر كذلك و نقول أن الدالة تؤول نحو الزائد لانهاية عندما يؤول $x$ نحو زائد لانهاية نفس الشيئ عندما يؤول إلى ناقص لانهاية .
$\lim _{x\to +\infty }{x^{2}}=+\infty$ و $\lim _{x\to -\infty }{x^{2}}=+\infty$

التعريف بالمكممات

$+\infty$

$f$ تؤول نحو زائد لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:

$\forall M>0,\exists N>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>N,f(x)>M$

$f$ تؤول نحو زائد لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:

$\forall M>0,\exists N<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<N,f(x)>M$

$-\infty$

$f$ تؤول نحو ناقص لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:

$\forall M<0,\exists N>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>N,f(x)<M$

$f$ تؤول نحو ناقص لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:

$\forall M<0,\exists N<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<N,f(x)<M$

العمليات على النهايات

نهاية المجموع

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l{\textrm {~,~}}+\infty &l{\textrm {~,~}}-\infty &+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty &-\infty &-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f+g)}&l+l'&+\infty &-\infty &\color {Red}{\textrm {--}}\\\hline \end{array}}$
الخانة الفارغة تحتوي شكلا غير محدد وهو نتيجة لا يمكن حسابها.

نهاية الجداء

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l\not =0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &+\infty {\textrm {~,~}}-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f\times g)}&l\times l'&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }&\color {Red}{\textrm {---}}\\\hline \end{array}}$
لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهايةالخارج (القسمة)

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &l\not =0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'\not =0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &l'\not =0&0&+\infty {\textrm {~,~}}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\frac {f}{g}}}&\displaystyle {\frac {l}{l'}}&0&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }&\color {Red}{\textrm {--}}&\color {Red}{\textrm {--}}&\color {Blue}{+\infty {\textrm {~,~}}-\infty }\\\hline \end{array}}$
لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهاية مركب الدوال

نعتبر الدالة المركبة $h(x)=f(g(x))$ وتكتب على الشكل $h(x)=fog(x)$ الرمز $o$ ينطق رُو
نهاية $h$ هي نهاية $f$ لكن المتغير يصبح $g$ ويصبح يؤول نحو $l'$

نهايات إعتيادية

${\textstyle \lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\sin(x)}{x}}=1}$ ، $\lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\tfrac {1}{2}}$ ، $\lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\tan(x)}{x}}=1$ ، $\lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\arctan(x)}{x}}=1$ ، $\lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {\ln(x+1)}{x}}=1$ ، $\lim _{x\rightarrow 0}{\tfrac {e^{x}-1}{x}}=1$