نهاية

من ويكي الكتب
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في هذا الدرس سنحاول تعريف مفهوم النهاية بالنسبة للمبتدئين , مفهوم نهاية الدالة مفهوم أساسي في علم التحليل الرياضي , نهاية دالة ترتبط بالسلوك الذي تتبعه الدالة عند محدات مجموعة تعريفها . وأهمية النهايات في بعض المواضيع الرياضية الاخرى كالاشتقاق و الاتصال.

تمهيد[عدل]

للخوض في مفهوم النهايات يجب على المتعلم على مجموعة من المهارات المنطقية و الأدوات الرياضياتية أهمها القدرة على صياغة البراهين فالنهايات أو التحليل بأكمله و الكثير من فروع الرياضيات يحتاج إلى الدقة و الملاحظة و سلاسة البراهين و انسجام الحجج. المكتسبات القبلية:

  • الدوال : التغير - المركب - الدوال الحدودية - الدوال الجذرية و الدوال اللاجذرية - الدوال المثلثية - .
  • المنطق : المكممات - الاستلزام و التكافئ ...
  • اساسيات الجبر

النهاية المنتهية عند نقطة[عدل]

مثال للفهم[عدل]

النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة تقبل نهاية عند يعني: أن الدالة تقترب من نهايتها كلما اقترب المتغير من بتعبير رياضي نقول :
عندما يؤول نحو فإن تؤول نحو . ونكتب Limit of a real function of a real variable

مثال:


التعريف بالمكممات[عدل]

يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:

كلما اقترب من بفرق قيمته المطلقة أقل من فان تقترب من و تكون القيمة المطلقة للفرق بينهما أصغر من

الدالة تقبل نهاية عند إذا و فقط اذا:

عدد صغير جدا
عدد صغير جدا


النهاية اللامنتهية عند نقطة[عدل]

مثال للفهم[عدل]

في بعض الدوال الغيرمتصلة تكون النهاية غير حقيقية في بعض النقط.وتكون إما أو مثال: Función Continua 033.svg
نلاحظ من المبيان أعلاه أن الرسم مكون من قسمين أي أن الدالة غير متصلة (درس الإتصال).كلما أقترب من على اليمين أونقول ( صفر زائد أو صفر موجب أو جوار صفر على اليمين أي القيم الموجبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001)فإن يأخذ قيم موجبة كبيرة جدا فنقول أن نهاية يمين هي (زائد لاناهية وهو عدد غير حقيقي) و نكتب .والعكس بالنسبة على اليسار أي ( أي القيم السالبة القريبة من 0 مثال 0,00000000001-) عندما تؤول قيم نحو فان مقلوبها يكون صغير جدا و سالب إذن النهاية هنا ناقص لانهاية ونقول إن الدالة تؤول نحو ناقص لانهاية عندما يؤول نحو .
أي:

التعريف بالمكممات[عدل]

  • تؤول نحو بجوار نقطة يكافئ:


Función Continua 032.svg


  • تؤول نحو بجوار نقطة يكافئ:


النهايةاللامنتهية عند نقطة.jpg

التعريف بالمكممات[عدل]

  • تؤول نحو بجوار نقطة يكافئ:


Función Continua 032.svg


  • تؤول نحو بجوار نقطة يكافئ:


النهايةاللامنتهية عند نقطة.jpg


النهاية المنتهية عند اللانهاية[عدل]

مثال للفهم[عدل]

نأخذ نفس المثال السابق نعلم أن الدالة معرفة على جميع نقط ماعدا . بالنسبة لهذه الدالة نلاحظ أنه كلما كبر فان يصغر .أي عندما يؤول المتغير نحو الزائد لانهاية فان صورته تؤول نحو الصفر.

و نكتب:
أو بالأحرى لأنها موجبة .
و بالمثل عند الناقص لانهاية :
و لنكون أكثر دقة :
يمكن أن نجمع الحالتين معا في :

التعريف بالمكممات[عدل]

  • تقبل نهاية عند تكافئ:


  • تقبل نهاية عند تكافئ:


- مجموعة تعريف الدالة.


النهاية اللامنتهية عند اللانهاية[عدل]

مثال للفهم[عدل]

نأخذ كمثال دالة المربع المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بكاملها.
كلما كبر فان يصبح أكبر كذلك و نقول أن الدالة تؤول نحو الزائد لانهاية عندما يؤول نحو زائد لانهاية نفس الشيئ عندما يؤول إلى ناقص لانهاية .
و

التعريف بالمكممات[عدل]

  • تؤول نحو زائد لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:


  • تؤول نحو زائد لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:


دالة المربع
  • تؤول نحو ناقص لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:


  • تؤول نحو ناقص لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:



العمليات على النهايات[عدل]

نهاية المجموع[عدل]


الخانة الفارغة تحتوي شكلا غير محدد وهو نتيجة لا يمكن حسابها.


نهاية الجداء[عدل]


لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهايةالخارج (القسمة)[عدل]


لتحديد إشارة النتائج بالأزرق يجب الرجوع قاعدة جداء الإشارات

نهاية مركب الدوال[عدل]

نعتبر الدالة المركبة وتكتب على الشكل الرمز ينطق رُو
نهاية هي نهاية لكن المتغير يصبح ويصبح يؤول نحو


نهايات إعتيادية[عدل]

، ، ، ، ،