جبر خطي/المصفوفات

من ويكي الكتب
اذهب إلى: تصفح، ابحث

< الجبر

بشكل عام المصفوفة عبارة عن مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية أو المركبة (العقدية) يمكن ان تكون ذات بعد واحد أو بعدين و أحيانا أكثر من ذلك :

A=\left(\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{matrix}\right)

هيm&في;n مصفوفة (m-في-n مصفوفة), أي : m سطر و n عمود. ندعو m و n بأبعاد المصفوفة. و نعتبر (i,j)-العنصر من المصفوفة ذو الترتيب i-th السطر (من الأعلى) و j-th العمود (من اليسار).

على سبيل المثال,

\begin{pmatrix} 3 & 4 & 8 \\
                        2 & 7 & 11 \\
                        1 & 1 & 1  \end{pmatrix}

هي 3×3 مصفوفة ( "3 في 3"). المدخل-(2,3) هو 11.

لاحظ أن مداخل المصفوفة يمكن أخذها من الحلقات العامة.

جمل المعادلات الخطية[عدل]

لحل جملة من المعادلات الخطية كما في الجملة التالية :

3x+4y+8z=6
2x+7y+11z=4
x+y+z=1

العمليات التقليدية لحل مثل هذه الجمل من المعادلات الخطية معقدة و غير منتظمة (فكل نمط من جمل المعادلات الخطية له طريقة حل مختلفة) .


إذا كان لدينا جملة المعادلات الخطية المذكورة أعلاه :

3x+4y+8z=6
2x+7y+11z=4
x+y+z=1

بإمكاننا استبدال x, y, z ب p, q, r و مع بقاء الحلول واحدة لا تتغير. بهذا يمكننا كتابة جملة المعادلات كما يلي :

3p+4q+8r=6
2p+7q+11r=4
p+q+r=1

و سيبقى حلول أو جذور جملة المعادلات ثابتة .

في الواقع ، لسنا بحاجة لكتابة x, y z لوصف جملة المعادلات: فما هو أكثر أهمية هو معاملات x, y, z. لذا يمكننا كتابة جملة المعادلات كما يلي :

\begin{pmatrix} 3 & 4 & 8 \\
                        2 & 7 & 11 \\
                        1 & 1 & 1  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} =
         \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

لتفاصيل أكثر, انظر إلى جملة المعادلات الخطية.

لقد بدأ مفهوم المصفوفة و استخدم بداية لتقديم طريقة حل نظامية لكافة جمل المعادلات الخطية ، لكنها بعد ذلك اكتسبت تطبيقات واسعة جدا في كافة المجالات .